チェビシェフ多項式[9]

チェビシェフ多項式は次式で表されます。

\((a)\) 第 \(1\) 種チェビシェフ多項式$$T_n(x)=\cos nθ    (x=\cos θ)$$
\((b)\) 第 \(2\) 種チェビシェフ多項式$$U_n(x)=\frac{\sin (n+1)θ}{\sin θ}   (x=\cos θ)$$


チェビシェフ多項式について、以下の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  T_n(x)T_m(x)=\frac{1}{2}\{T_{n+m}(x)+T_{n-m}(x)\}  (n \geq m)\\
&(2)  T_n(x)U_m(x)=\frac{1}{2}\{U_{n+m}(x)+U_{n-m}(x)\}  (n \geq m)\\
&(3)  T_{2n}(x)=2\{T_n(x)\}^2-1\\
&(4)  T_{2n+1}(x)=2T_{n+1}(x)T_n(x)-x\\
&(5)  T_{2n-1}(x)=2T_{n-1}(x)T_{n}(x)-x\\
&(6)  U_{2n}(x)=2T_n(x)U_n(x)-1\\
&(7)  U_{2n+1}(x)=2U_{n+1}(x)T_n(x)-2x\\
&(8)  U_{2n-1}(x)=2U_{n}(x)T_{n-1}(x)-2x\\
&(9)  T_n\{T_m(x)\}=T_{nm}(x)\\
&(10)  U_{n-1}\{T_m(x)\}=U_{nm-1}(x)
\end{alignat}














<証明>

\((1)\) 積和の公式で三角関数を切り離してから、

第 \(1\) 種チェビシェフ多項式に戻します。
\begin{alignat}{2}
T_n(x)T_m&=\cos nθ\cos mθ\\
&=\frac{1}{2}\left\{\cos (n+m)θ+\cos (n-m)θ\right\}\\
&=\frac{1}{2}\{T_{n+m}(x)+T_{n-m}(x)\}\\
\end{alignat}以上より$$T_n(x)T_m(x)=\frac{1}{2}\{T_{n+m}(x)+T_{n-m}(x)\}  (n \geq m)$$







\((2)\) 積和の公式で三角関数を切り離してから、

第 \(2\) 種チェビシェフ多項式に戻します。
\begin{alignat}{2}
T_n(x)U_m&=\frac{\sin (n+1)}{\sin θ} \cdot \cos mθ\\
&=\frac{1}{2 \sin θ}\left\{sin (n+1+m)θ+\sin (n+1-m)θ\right\}\\
&=\frac{1}{2} \left\{\frac{\sin (n+m+1)θ}{\sin θ}\frac{\sin (n-m+1)θ}{\sin θ}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\{U_{n+m}(x)+U_{n-m}(x)\}\\
\end{alignat}以上より$$T_n(x)U_m(x)=\frac{1}{2}\{U_{n+m}(x)+U_{n-m}(x)\}  (n \geq m)$$









\((3)\) \((1)\) の式で \(m=n\) とします。$$2T_n(x)T_n(x)=T_{2n}(x)+T_0(x)  [T_0(x)=1]$$以上より$$T_{2n}(x)=2\{T_n(x)\}^2-1$$






\((4)\) \((1)\) の式で \(n\) を \(n+1\)、\(m=n\) とします。$$2T_{n+1}(x)T_n(x)=T_{2n+1}(x)+T_1(x)  [T_1(x)=x]$$以上より$$T_{2n+1}(x)=2T_{n+1}(x)T_n(x)-x$$







\((5)\) \((1)\) の式で \(m=n-1\) とします。$$2T_{n}(x)T_{n-1}(x)=T_{2n-1}(x)+T_1(x)  [T_1(x)=x]$$以上より$$T_{2n-1}(x)=2T_{n-1}(x)T_n(x)-x$$








\((6)\) \((2)\) の式で \(m=n\) とします。$$2U_n(x)T_n(x)=U_{2n}(x)+U_0(x)  [U_0(x)=1]$$以上より$$U_{2n}(x)=2U_n(x)T_n(x)-1$$







\((7)\) \((2)\) の式で \(n\) を \(n+1\)、\(m=n\) とします。$$2U_{n+1}(x)T_n(x)=U_{2n+1}(x)+U_1(x)  [U_1(x)=2x]$$以上より$$U_{2n+1}(x)=2U_{n+1}(x)T_n(x)-2x$$







\((8)\) \((2)\) の式で \(m=n-1\) とします。$$2U_{n}(x)T_{n-1}(x)=U_{2n-1}(x)+U_1(x)  [U_1(x)=2x]$$以上より$$U_{2n-1}(x)=2U_{n}(x)T_{n-1}(x)-2x$$








\((9)\) \(T_n(x)=\cos nθ=\cos (n \cos^{-1} x)\) であるので$$T_n\{T_m(x)\}=T_n(\cos mθ)=\cos \{n \cos^{-1}(\cos mθ)\}$$\(\cos^{-1}(\cos mθ)=A\) と置くと$$\cos A=\cos mθ,  A=mθ$$すなわち$$T_n\{T_m(x)\}=\cos nA=\cos nmθ=T_{nm}(x)$$以上より$$T_n\{T_m(x)\}=T_{nm}(x)$$









\((10)\) \(\displaystyle U_{n-1}(x)=\frac{\sin nθ}{\sin θ}=\frac{\sin (n\cos^{-1} x)}{\sin θ}\) であるので$$U_{n-1}\{T_m(x)\}=U_{n-1}(\cos mθ)=\frac{\sin \{n\cos^{-1} (\cos mθ)\}}{\sin θ}$$\(\cos^{-1}(\cos mθ)=A\) と置くと$$\cos A=\cos mθ,  A=mθ$$すなわち$$U_{n-1}\{T_m(x)\}=\frac{\sin nA}{\sin θ}=\frac{\sin nmθ}{\sin θ}=U_{nm-1}(x)$$以上より$$U_{n-1}\{T_m(x)\}=U_{nm-1}(x)$$











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