ci(qx)cospx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{si}(qx) \sin pxdx=
\begin{cases}
\displaystyle -\frac{π}{2p}  (p \gt q)\\
\displaystyle -\frac{π}{4p}  (p=q)\\
\displaystyle 0  (p \lt q)\\
\end{cases}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{si}(qx) \cos pxdx=\frac{1}{4p} \log \left(\frac{p-q}{p+q}\right)^2  (p≠q)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{ci}(qx) \sin pxdx=-\frac{1}{4p}\log \left(\frac{p^2}{q^2}-1\right)^2  (p≠q)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{ci}(qx) \cos pxdx=
\begin{cases}
\displaystyle -\frac{π}{2p}  (p \gt q)\\
\displaystyle -\frac{π}{4p}  (p=q)\\
\displaystyle 0  (p \lt q)\\
\end{cases}\\
\end{alignat}ただし、全て \(p,q \gt 0\)











<証明>

正弦、余弦積分はそれぞれ$$\mathrm{si}(qx)=-\displaystyle\int_{qx}^{\infty} \frac{\sin t}{t}dt,  \mathrm{ci}(qx)=-\displaystyle\int_{qx}^{\infty} \frac{\cos t}{t}dt$$であるので、\(x\) で微分すると$$\{\mathrm{si}(qx)\}’=q \cdot \frac{\sin qx}{qx}=\frac{\sin qx}{x},  \{\mathrm{ci}(qx)\}’=q \cdot \frac{\cos qx}{qx}=\frac{\cos qx}{x}$$\((1)\) から \((4)\) まで、これを用いて部分積分を行い計算を進めます。




また、次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax- \cos bx}{x}dx=\log \frac{b}{a}\\$$ただし \(a,b \gt 0\)



\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{si}(qx) \sin pxdx\\
&=\left[-\frac{1}{p} \cos px \cdot \mathrm{si}(qx)\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos px}{p} \cdot \frac{\sin qx}{x}dx\\
&=-\frac{1}{p} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin t}{t}dt+\frac{1}{p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos px \sin qx}{x}dx\\
&=-\frac{π}{2p}+\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (p+q)x-\sin (p-q)x }{x}dx\\
&=-\frac{π}{2p}+\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (p+q)x}{x}dx-\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (p-q)x}{x}dx\\
\end{alignat}
\((A)\) \(p \gt q\) のとき$$=-\frac{π}{2p}+\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2}-\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2}=-\frac{π}{2p}$$
\((B)\) \(p=q\) のとき$$=-\frac{π}{2p}+\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2}=-\frac{π}{2p}+\frac{π}{4p}=-\frac{π}{4p}$$
\((C)\) \(p \lt q\) のとき$$=-\frac{π}{2p}+\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2}=-\frac{π}{2p}+\frac{π}{2p}=0$$以上より\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{si}(qx) \sin pxdx=
\begin{cases}
\displaystyle -\frac{π}{2p}  (p \gt q)\\
\displaystyle -\frac{π}{4p}  (p=q)\\
\displaystyle 0  (p \lt q)\\
\end{cases}
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{si}(qx) \cos pxdx\\
&=\left[\frac{1}{p} \sin px \cdot \mathrm{si}(qx)\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin px}{p} \cdot \frac{\sin qx}{x}dx=-\frac{1}{p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin px \sin qx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos (p+q)x-\cos (p-q)x}{x}dx=\frac{1}{2p} \log \left|\frac{p-q}{p+q}\right|=\frac{1}{4p} \log \left(\frac{p-q}{p+q}\right)^2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{si}(qx) \cos pxdx=\frac{1}{4p} \log \left(\frac{p-q}{p+q}\right)^2  (p≠q)$$







\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{ci}(qx) \sin pxdx\\
&=\left[-\frac{1}{p} \cos px \cdot \mathrm{ci}(qx)\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos px}{p} \cdot \frac{\cos qx}{x}dx\\
&=-\frac{1}{p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos qt}{t}dt+\frac{1}{p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos px \cos qx}{x}dx\\
&=-\frac{1}{p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos qx}{x}dx+\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos (p+q)x+ \cos (p-q)x}{x}dx\\
&=-\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2 \cos qx-\cos (p+q)x-\cos (p-q)x}{x}dx\\
&=-\frac{1}{2p}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos qx- \cos (p+q)x}{x}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos qx- \cos (p-q)x}{x}dx\right\}\\
&=-\frac{1}{2p}\left(\left|\log \frac{p+q}{q}\right|+\log \left|\frac{p-q}{q}\right|\right)=-\frac{1}{2p} \log \left|\frac{(p+q)(p-q)}{q^2}\right|\\
&=-\frac{1}{2p}\log \left|\frac{p^2-q^2}{q^2}\right|=-\frac{1}{4p}\log \left(\frac{p^2}{q^2}-1\right)^2
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{ci}(qx) \sin pxdx=-\frac{1}{4p}\log \left(\frac{p^2}{q^2}-1\right)^2  (p≠q)$$







\begin{alignat}{2}
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{ci}(qx) \cos pxdx\\
&=\left[-\frac{1}{p} \sin px \cdot \mathrm{ci}(qx)\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin px}{p} \cdot \frac{\cos qx}{x}dx\\
&=-\frac{1}{p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin px \cos qx}{x}dx\\
&=-\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (p+q)x+\sin (p-q)x }{x}dx\\
&=-\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (p+q)x}{x}dx-\frac{1}{2p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin (p-q)x}{x}dx\\
\end{alignat}
\((A)\) \(p \gt q\) のとき$$=-\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2}-\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2}=-\frac{π}{2p}$$
\((B)\) \(p=q\) のとき$$=-\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2}=-\frac{π}{4p}$$
\((C)\) \(p \lt q\) のとき$$=-\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2}+\frac{1}{2p} \cdot \frac{π}{2}=0$$以上より\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{ci}(qx) \cos pxdx=
\begin{cases}
\displaystyle -\frac{π}{2p}  (p \gt q)\\
\displaystyle -\frac{π}{4p}  (p=q)\\
\displaystyle 0  (p \lt q)\\
\end{cases}
\end{alignat}

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