cos(2n-1)x/(1-2acosx+a^2)[0,π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=0\\
&(2) \displaystyle\int_0^π \frac{\cos 2nx \cos x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=0\\
&(3) \displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-1)x \cos 2x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=0\\
&(4) \displaystyle\int_0^π \frac{\sin 2nx \sin x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=0\\
&(5) \displaystyle\int_0^π \frac{\sin (2n-1)x \sin 2x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=0\\
\end{alignat}ただし、全て \(|a|≠1\)







<証明>

\((1)\) は \(e^{ix}=z\) とおいて、複素積分で計算します。\(\displaystyle \left(dx=\frac{1}{iz}dz\right)\)

予め、分母を因数分解しておきます。
\begin{alignat}{2}
&1-2a \cos 2x+a^2=1-2a \cdot \frac{e^{2ix}+e^{-2ix}}{2}+a^2\\
&               =1-a(e^{2ix}+e^{-2ix})+a^2\\
&               =(e^{2ix}-a)(e^{-2ix}-a)
\end{alignat}





\((1)\) 被積分関数は偶関数なので積分区間を \([-π,π]\) として \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 倍します。$$\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-π}^π \frac{\cos (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx$$
ところで、計算する積分の分子を \(\sin (2n-1)x\) としたものを考えるとき、
被積分関数が奇関数なので次のように積分値は \(0\) です。$$\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-π}^π \frac{\sin (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=0$$求める積分に、この積分を \(i\) 倍して加えます。
\begin{alignat}{2}
&  \frac{1}{2}\displaystyle\int_{-π}^π \frac{\cos (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-π}^π \frac{\cos (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx+i \cdot \frac{1}{2}\displaystyle\int_{-π}^π \frac{\sin (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-π}^π \frac{\cos (2n-1)x+i \sin (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-π}^π \frac{e^{i(2n-1)x}}{(e^{2ix}-a)(e^{-2ix}-a)}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\oint_{|z|=1} \frac{z^{2n-1}}{(z^2-a)(z^{-2}-a)}\cdot \frac{1}{iz}dz\\
&=\frac{i}{2}\displaystyle\oint_{|z|=1} \frac{z^{2n}}{(z^2-a)(az^2-1)}dz\\
&=\frac{i}{2}\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{z^{2n}}{(z-\sqrt{a})(z+\sqrt{a})(\sqrt{a}z-1)(\sqrt{a}z+1)}dz
\end{alignat}


\((A)\) \(|a| \lt 1\) のとき、特異点は \(z=\pm \sqrt{a}\) なので、その留数を計算します。
\begin{alignat}{2}
&Res(f(x),\sqrt{a})=\displaystyle\lim_{z \to \sqrt{a}} (z-\sqrt{a})\cdot \frac{z^{2n}}{(z-\sqrt{a})(z+\sqrt{a})(\sqrt{a}z-1)(\sqrt{a}z+1)}\\
&            =\displaystyle\lim_{z \to \sqrt{a}} \frac{z^{2n}}{(z+\sqrt{a})(\sqrt{a}z-1)(\sqrt{a}z+1)}\\
&            =\frac{a^n}{2\sqrt{a}(a-1)(a+1)}
&\\
&Res(f(x),-\sqrt{a})=\displaystyle\lim_{z \to -\sqrt{a}} (z+\sqrt{a})\cdot \frac{z^{2n}}{(z-\sqrt{a})(z+\sqrt{a})(\sqrt{a}z-1)(\sqrt{a}z+1)}\\
&             =\displaystyle\lim_{z \to -\sqrt{a}} \frac{z^{2n}}{(z-\sqrt{a})(\sqrt{a}z-1)(\sqrt{a}z+1)}\\
&             =\frac{a^n}{-2\sqrt{a}(-a-1)(-a+1)}=-\frac{a^n}{2\sqrt{a}(a-1)(a+1)}
\end{alignat}よって積分値は$$\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=\frac{i}{2}\cdot 2πi \cdot \left\{\frac{a^n}{2\sqrt{a}(a-1)(a+1)}-\frac{a^n}{2\sqrt{a}(a-1)(a+1)}\right\}=0$$


\((B)\) \(|a| \gt 1\) のとき、特異点は \(\displaystyle z=\pm \frac{1}{\sqrt{a}}\) なので、その留数を計算します。
\begin{alignat}{2}
&Res\left(f(x),\frac{1}{\sqrt{a}}\right)=\displaystyle\lim_{z \to \frac{1}{\sqrt{a}}} \left(z-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\cdot \frac{z^{2n}}{(z-\sqrt{a})(z+\sqrt{a})\left(z-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\left(z+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)a}\\
&              =\displaystyle\lim_{z \to \frac{1}{\sqrt{a}}} \frac{z^{2n}}{(z-\sqrt{a})(z+\sqrt{a})\left(z+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)a}\\
&              =\frac{a^{-n}}{\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right) \cdot \frac{2}{\sqrt{a}} \cdot a}\\
&              =\frac{a^{-n}}{\left(\frac{1}{a}-a\right)2\sqrt{a}}=\frac{a^{-n+1}}{2\sqrt{a}(1-a^2)}
&\\
&\\
&Res\left(f(x),-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)=\displaystyle\lim_{z \to -\frac{1}{\sqrt{a}}} \left(z+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\cdot \frac{z^{2n}}{(z-\sqrt{a})(z+\sqrt{a})\left(z-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)\left(z+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)a}\\
&                =\displaystyle\lim_{z \to -\frac{1}{\sqrt{a}}} \frac{z^{2n}}{(z-\sqrt{a})(z+\sqrt{a})\left(z-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)a}\\
&                =\frac{a^{-n}}{\left(-\frac{1}{\sqrt{a}}-\sqrt{a}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)\left( -\frac{2}{\sqrt{a}}\right)a}\\
&                =-\frac{a^{-n}}{\left(\frac{1}{a}-a\right)2\sqrt{a}}=-\frac{a^{-n+1}}{2\sqrt{a}(1-a^2)}
\end{alignat}
よって積分値は$$\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=\frac{i}{2}\cdot 2πi\left\{\frac{a^{-n+1}}{2\sqrt{a}(1-a^2)}-\frac{a^{-n+1}}{2\sqrt{a}(1-a^2)}\right\}=0$$
以上より$$\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=0   (|a|≠1 )$$







\((2)\) から \((5)\) は積和の公式で切り離して \((1)\) を用います。
\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^π \frac{\cos 2nx \cos x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x +\cos (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx+\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-1)x }{1-2a \cos 2x+a^2}dx\right\}=0\\
&\\
&\\
&(3)  \displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-1)x \cos 2x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x +\cos (2n-3)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx\\
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx+\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-3)x }{1-2a \cos 2x+a^2}dx\right\}=0\\
&\\
&\\
&(4)  \displaystyle\int_0^π \frac{\sin 2nx \sin x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x -\cos (2n-1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx\\
&=-\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx-\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-1)x }{1-2a \cos 2x+a^2}dx\right\}=0\\
&\\
&\\
&(5)  \displaystyle\int_0^π \frac{\sin (2n-1)x \sin 2x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x -\cos (2n-3)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx\\
&=-\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx-\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-3)x }{1-2a \cos 2x+a^2}dx\right\}=0\\
\end{alignat}




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