cos(2n+1)x/cosx[0,π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^π \frac{\sin 2nx}{\cos x}dx=4(-1)^{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin 2nx}{\cos x}dx=2(-1)^{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x}{\cos x}dx=(-1)^n π\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (2n+1)x}{\cos x}dx=\frac{(-1)^nπ}{2}
\end{alignat}ただし、全て \( n \geq 0,\,n \in \mathrm{Z}\)













<証明>

\((1)\) 求める定積分を \(I_{2n}\) と置きます。$$I_{2n}=\displaystyle\int_0^π \frac{\sin 2nx}{\cos x}dx$$分母の \(\cos x\) を消去するために \(I_{2n}+I_{2n-2}\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
I_{2n}+I_{2n-2}&=\displaystyle\int_0^π \frac{\sin 2nx +\sin (2n-2)x}{\cos x}dx\\
&=2 \displaystyle\int_0^π \frac{\sin (2n-1) x \cos x}{\cos x}dx=2 \displaystyle\int_0^π \sin (2n-1) xdx\\
&=2 \left[-\frac{1}{2n-1} \cos (2n-1)x\right]_0^π\\
&=-\frac{2}{2n-1}\{\cos (2n-1)π-1\}=\frac{4}{2n-1}\\
\end{alignat}よって、次の漸化式を得ます。$$I_{2n}=-I_{2n-2}+\frac{4}{2n-1}$$\(n=1,2,3 \cdots\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I_2=-I_0+\frac{4}{1},  I_4=-I_2+\frac{4}{3}\\
&I_6=-I_4+\frac{4}{5},  I_8=-I_6+\frac{4}{7},  \cdots, I_{2n}=-I_{2n-2}+\frac{4}{2n-1}\\
\end{alignat}これらの式を繰り返し代入します。
\begin{alignat}{2}
I_{2n}&=-I_{2n-2}+\frac{4}{2n-1}=-\left(-I_{2n-4}+\frac{4}{2n-3}\right)+\frac{4}{2n-1}\\
&=I_{2n-4}-\frac{4}{2n-3}+\frac{4}{2n-1}\\
&=-I_{2n-6}+\frac{4}{2n-5}-\frac{4}{2n-3}+\frac{4}{2n-1}\\
&\\
&          \cdots \\
&\\
&=(-1)^nI_0+\frac{4(-1)^{n-1}}{1}+\frac{4(-1)^{n-2}}{3}+ \cdots +\frac{4}{2n-5}-\frac{4}{2n-3}+\frac{4}{2n-1}\\
&=4(-1)^{n-1}\left\{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}- \cdots +\frac{(-1)^{n-2}}{2n-3}+\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\right\}\\
&=4(-1)^{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π \frac{\sin 2nx}{\cos x}dx=4(-1)^{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$$








\((2)\) \(\displaystyle f(x)=\frac{\sin 2nx}{\cos x}\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&f\left(\frac{π}{2}+x\right)=\frac{\sin (nπ+2nx)}{\cos \left(\frac{π}{2}+x\right)}=\frac{(-1)^n \sin 2nx}{-\sin x}=\frac{(-1)^{n-1}\sin 2nx }{\sin x}\\
&f\left(\frac{π}{2}-x\right)=\frac{\sin (nπ-2nx)}{\cos \left(\frac{π}{2}-x\right)}=\frac{(-1)^{n-1}\sin 2nx }{\sin x}\\
\end{alignat}となり \(\displaystyle f\left(\frac{π}{2}+x\right)=f\left(\frac{π}{2}-x\right)\) が成り立つので

\(f(x)\) は \(\displaystyle x=\frac{π}{2}\) を軸として線対称だから$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin 2nx}{\cos x}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\sin 2nx}{\cos x}dx$$\((1)\) を結果を用いて$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin 2nx}{\cos x}dx=2(-1)^{n-1}\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$$







\((3)\) 求める定積分を \(I_{2n+1}\) と置きます。$$I_{2n+1}=\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x}{\cos x}dx$$分母の \(\cos x\) を消去するために \(I_{2n+1}+I_{2n-1}\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
I_{2n+1}+I_{2n-1}&=\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x+\cos (2n-1)x}{\cos x}dx\\
&=2 \displaystyle\int_0^π \frac{\cos 2nx \cos x}{\cos x}dx=2 \displaystyle\int_0^π \cos 2nxdx\\
&=2\left[\frac{1}{2n}\sin 2nx\right]_0^π=0\\
\end{alignat}得られた漸化式を繰り返し用いると$$I_{2n+1}=-I_{2n-1}=(-1)^2I_{2n-3}= \cdots =(-1)^{n-1}I_3=(-1)^nI_1$$となるので$$I_1=\displaystyle\int_0^πdx=π,  I_{2n+1}=(-1)^nπ$$以上より$$\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1) x}{\cos x}dx=(-1)^nπ$$







\((4)\) \(\displaystyle f(x)=\frac{\cos (2n+1)x}{\cos x}\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
f\left(\frac{π}{2}+x\right)&=\frac{\cos (2n+1)\left(\frac{π}{2}+x\right)}{\cos \left(\frac{π}{2}+x\right)}=\frac{\cos \left\{nπ+\frac{π}{2}+(2n+1)x\right\}}{\cos \left(\frac{π}{2}+x\right)}\\
&=\frac{(-1)^{n-1} \sin (2n+1)x}{-\sin x}=\frac{(-1)^n \sin (2n+1)x}{\sin x}\\
&\\
f\left(\frac{π}{2}-x\right)&=\frac{\cos (2n+1)\left(\frac{π}{2}-x\right)}{\cos \left(\frac{π}{2}-x\right)}=\frac{\cos \left\{nπ+\frac{π}{2}-(2n+1)x\right\}}{\cos \left(\frac{π}{2}-x\right)}=\frac{(-1)^n \sin (2n+1)x}{\sin x}\\
\end{alignat}となり \(\displaystyle f\left(\frac{π}{2}+x\right)=f\left(\frac{π}{2}-x\right)\) が成り立つので

\(f(x)\) は \(\displaystyle x=\frac{π}{2}\) を軸として線対称だから$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (2n+1)x}{\cos x}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n+1)x}{\cos x}dx$$\((3)\) の結果を用いて$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (2n+1)x}{\cos x}dx=\frac{(-1)^nπ}{2}$$

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