cos2nx/(1-2acos2x+a^2)[0,π]などの定積分


\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^π \frac{\cos 2nx}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{πa^n}{1-a^2}  (|a| \lt 1)\\
\displaystyle \frac{πa^{-n}}{a^2-1}  (|a| \gt 1)\\
\end{cases}\\
&(2) \displaystyle\int_0^π \frac{\sin (2n-1)x \sin x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{πa^{n-1}}{2(a+1)}  (|a| \lt 1)\\
\displaystyle \frac{πa^{-n}}{2(a+1)}  (|a| \gt 1)\\
\end{cases}\\
&(3) \displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-1)x \cos x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{πa^{n-1}}{2(1-a)}  (|a| \lt 1)\\
\displaystyle \frac{πa^{-n}}{2(a-1)}  (|a| \gt 1)\\
\end{cases}
\end{alignat}









<証明>

\((1)\) 次の積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^π \frac{\cos nx}{1-2p \cos x+p^2}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{πp^n}{1-p^2}  (|p| \lt 1)\\
\displaystyle \frac{πp^{-n}}{p^2-1}  (|p| \gt 1)\\
\end{cases}\\
\end{alignat}

求める積分について \(2x=t\) と置きます。\((2dx=dt)\)$$\displaystyle\int_0^π \frac{\cos 2nx}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=\displaystyle\int_0^{2π} \frac{\cos nt}{1-2a \cos t+a^2}\cdot \frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{2π} \frac{\cos nx}{1-2a \cos x+a^2}dx$$この被積分関数が \(x=π\) を軸として線対称であることを示します。

被積分関数を \(f(x)\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&f(π+h)=\frac{\cos n(π+h)}{1-2a \cos (π+h)+a^2}=\frac{\cos (nπ+nh)}{1+2a \cos h+a^2}=\frac{(-1)^n \cos nh}{1+2a \cos h+a^2}\\
&\\
&f(π-h)=\frac{\cos n(π-h)}{1-2a \cos (π-h)+a^2}=\frac{\cos (nπ-nh)}{1+2a \cos h+a^2}=\frac{(-1)^n \cos nh}{1+2a \cos h+a^2}\\
\end{alignat}
上記のように \(f(π+h)=f(π-h)\) となるので、
被積分関数が \(x=π\) を軸として線対称であるから、

積分区間を \([0,π]\) として全体を \(2\) 倍すると$$=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{2π} \frac{\cos nx}{1-2a \cos x+a^2}dt=\displaystyle\int_0^π \frac{\cos nx}{1-2a \cos x+a^2}dx$$以上より\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^π \frac{\cos 2nx}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=
\begin{cases}
\displaystyle \frac{πa^n}{1-a^2}  (|a| \lt 1)\\
\displaystyle \frac{πa^{-n}}{a^2-1}  (|a| \gt 1)\\
\end{cases}
\end{alignat}







\((2)\) 積差の公式で式を切り離して \((1)\) を用います。$$\displaystyle\int_0^π \frac{\sin (2n-1)x \sin x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\cos 2nx – \cos (2n-2)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx$$
\((A)\) \(|a| \lt 1\) のとき$$=-\frac{1}{2}\left(\frac{πa^n}{1-a^2}-\frac{πa^{n-1}}{1-a^2}\right)=\frac{π}{2}\cdot \frac{a^{n-1}(a-1)}{(a-1)(a+1)}=\frac{πa^{n-1}}{2(a+1)}$$
\((B)\) \(|a| \gt 1\) のとき$$=-\frac{1}{2}\left(\frac{πa^{-n}}{a^2-1}-\frac{πa^{-n+1}}{a^2-1}\right)=-\frac{π}{2}\cdot \frac{a^{-n}(1-a)}{(a-1)(a+1)}=\frac{πa^{-n}}{2(a+1)}$$






\((3)\) 積差の公式で式を切り離して \((1)\) を用います。$$\displaystyle\int_0^π \frac{\cos (2n-1)x \cos x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π \frac{\cos 2nx + \cos (2n-2)x}{1-2a \cos 2x+a^2}dx$$
\((A)\) \(|a| \lt 1\) のとき$$=\frac{1}{2}\left(\frac{πa^n}{1-a^2}+\frac{πa^{n-1}}{1-a^2}\right)=\frac{π}{2}\cdot \frac{a^{n-1}(a+1)}{(1-a)(1+a)}=\frac{πa^{n-1}}{2(1-a)}$$
\((B)\) \(|a| \gt 1\) のとき$$=\frac{1}{2}\left(\frac{πa^{-n}}{a^2-1}+\frac{πa^{-n+1}}{a^2-1}\right)=\frac{π}{2}\cdot \frac{a^{-n}(1+a)}{(a-1)(a+1)}=\frac{πa^{-n}}{2(a-1)}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です