cos2xlog(sinx)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos2x \log( \sin x)dx=-\frac{π}{4}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos2x \log( \cos x)dx=\frac{π}{4}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin2x \log( \sin x)dx=-\frac{1}{2}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin2x \log( \cos x)dx=-\frac{1}{2}\\
\end{alignat}










\((1)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2x \log ( \sin x)dx&=\left[\frac{1}{2} \sin 2x \log ( \sin x)\right]_0^{\frac{π}{2}}-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1}{2} \sin 2x\cdot \frac{ \cos x}{ \sin x}dx\\
&=-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}dx\\
&=-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 xdx=-\frac{1}{2}\cdot \frac{π}{2}=-\frac{π}{4}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos2x \log( \sin x)dx=-\frac{π}{4}$$







\((2)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2x \log ( \cos x)dx&=\left[\frac{1}{2} \sin 2x \log ( \cos x)\right]_0^{\frac{π}{2}}-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{1}{2} \sin 2x\cdot \frac{ -\sin x}{ \cos x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^2 xdx=\frac{1}{2}\cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{4}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos2x \log( \cos x)dx=\frac{π}{4}$$







$$(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin2x \log( \sin x)dx=2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \cos x \log( \sin x)dx$$\(\sin x=t\) と置きます。\((\cos xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=2 \displaystyle\int_0^1 t\log tdt\\
&=2\left\{\left[\frac{1}{2}t^2 \log t\right]_0^1-\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{2}t^2 \cdot \frac{1}{t}dt\right\}\\
&=-\displaystyle\int_0^1 tdt=-\left[\frac{1}{2}t^2\right]_0^1=-\frac{1}{2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin2x \log( \sin x)dx=-\frac{1}{2}$$







$$(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin2x \log( \cos x)dx=2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \cos x \log( \cos x)dx$$\(\cos x=t\) と置きます。\((-\sin xdx=dt)\)$$=-2 \displaystyle\int_1^0 t\log tdt=2 \displaystyle\int_0^1 t \log tdt=-\frac{1}{2}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin2x \log( \cos x)dx=-\frac{1}{2}$$



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