(cos2x)^{n-1/2}/(cosx)^{2n+1}[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^p x}{\cos^{p+2} x}dx=\frac{1}{p+1}  (p \gt -1)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{μ-\frac{1}{2}} x}{\cos^{2μ-1} x}dx=\frac{Γ\left(\frac{μ}{2}+\frac{1}{4}\right)Γ(1-μ)}{2Γ\left(\frac{5}{4}-\frac{μ}{2}\right)}  \left(-\frac{1}{2} \lt μ \lt 1 \right)\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{μ-\frac{1}{2}} x}{\sin^{2μ-1} x}dx=\frac{Γ\left(\frac{μ}{2}+\frac{1}{4}\right)Γ(1-μ)}{2Γ\left(\frac{5}{4}-\frac{μ}{2}\right)}  \left(-\frac{1}{2} \lt μ \lt 1 \right)\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\cos^{n-\frac{1}{2}} 2x}{\cos^{2n+1} x}dx=\frac{π(2n)!}{2^{2n+1}(n!)^2}  (n \in \mathrm{N} )
\end{alignat}







<証明>

\((1)\) \(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^p x}{\cos^{p+2} x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \tan^p x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx\\
&             =\displaystyle\int_0^1 t^p dt=\left[\frac{t^{p+1}}{p+1}\right]_0^1=\frac{1}{p+1}
\end{alignat}






\((2)(3)\) ベータ関数の公式を用いれば \((2)\) と \((3)\) は、
次のように同じ値を取ることは明らかで
\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{μ-\frac{1}{2}} x}{\cos^{2μ-1} x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\sin x)^{μ-\frac{1}{2}}(\cos x)^{-2μ+1}dx=\frac{1}{2}B\left(\frac{μ}{2}+\frac{1}{4},1-μ\right)\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{μ-\frac{1}{2}} x}{\sin^{2μ-1} x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}(\cos x)^{μ-\frac{1}{2}}(\sin x)^{-2μ+1}dx=\frac{1}{2}B\left(\frac{μ}{2}+\frac{1}{4},1-μ\right)\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{μ-\frac{1}{2}} x}{\cos^{2μ-1} x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{μ-\frac{1}{2}} x}{\sin^{2μ-1} x}dx=\frac{1}{2}B\left(\frac{μ}{2}+\frac{1}{4},1-μ\right)=\frac{Γ\left(\frac{μ}{2}+\frac{1}{4}\right)Γ(1-μ)}{2Γ\left(\frac{5}{4}-\frac{μ}{2}\right)}$$







途中、次のベータ関数の公式を用いています。(詳細はこちらです。)$$B(x,y)=\frac{1}{2^{x+y-1}}\displaystyle\int_{-1}^{1}(1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$$



\((3)\) \(2x=t\) と置きます。\((2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\cos^{n-\frac{1}{2}} 2x}{\cos^{2n+1} x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\cos t)^{n-\frac{1}{2}}}{(\cos \frac{t}{2})^{2n+1}} \cdot \frac{1}{2}dt=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\frac{(\cos t)^{n-\frac{1}{2}}}{(\cos^2 \frac{t}{2})^{n+\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}dt\\
&                =\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\frac{\cos t}{\cos^2 \frac{t}{2}}\right)^{n-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2} dt
\end{alignat}\(\displaystyle \tan {\frac{t}{2}}=s\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{2 \cos^2 \frac{t}{2}}dt=ds\right)\)$$\frac{\cos t}{\cos^2 \frac{t}{2}}=\frac{2 \cos^2 \frac{t}{2} -1}{\cos^2 {\frac{t}{2}}}=\left(\frac{2}{1+s^2}-1\right)(1+s^2)=2-(1+s^2)=1-s^2$$となるので
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\cos^{n-\frac{1}{2}} 2x}{\cos^{2n+1} x}dx=\displaystyle\int_0^1 (1-s^2)^{n-\frac{1}{2}} ds=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^1 (1-s^2)^{n-\frac{1}{2}} ds\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^1 (1+s)^{n-\frac{1}{2}}(1-s)^{n-\frac{1}{2}}ds\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^1 (1+s)^{\left(n+\frac{1}{2}\right)-1}(1-s)^{\left(n+\frac{1}{2}\right)-1}ds\\
&=\frac{1}{2}\cdot 2^{2n} \cdot \frac{1}{2^{2n}}\displaystyle\int_{-1}^1 (1+s)^{\left(n+\frac{1}{2}\right)-1}(1-s)^{\left(n+\frac{1}{2}\right)-1}ds\\
&=2^{2n-1}B\left(n+\frac{1}{2},n+\frac{1}{2}\right)\\
&=2^{2n-1} \cdot \frac{\left\{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)\right\}^2}{Γ(2n+1)}=2^{2n-1} \cdot \frac{\left\{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)\right\}^2}{2nΓ(2n)}\\
&=\frac{2^{2n-1}}{2n}\left\{Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)\right\}^2 \cdot \frac{\sqrt{π}}{2^{2n-1}Γ(n)Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)}\\
&=\frac{\sqrt{π}}{2n}Γ\left(n+\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{Γ(n)}\\
&=\frac{\sqrt{π}}{2n}\cdot \frac{(2n-1)!!}{2^n} \cdot \sqrt{π} \cdot \frac{1}{Γ(n)}=\frac{π}{2^{n+1}}\cdot \frac{(2n-1)!!}{n!}\\
&=\frac{π}{2^{n+1}}\cdot \frac{(2n-1)(2n-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1}{n!}\\
&=\frac{π}{2^{n+1}}\cdot \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1}{n! \cdot 2^n \cdot n!}=\frac{π(2n)!}{2^{2n+1}(n!)^2}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\cos^{n-\frac{1}{2}} 2x}{\cos^{2n+1} x}dx=\frac{π(2n)!}{2^{2n+1}(n!)^2}$$

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