cos3xlog(sinx)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 3x \log (\sin x)dx=-\frac{5}{9}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 3x \log (\cos x)dx=\frac{1}{9}(7-3 \log 2)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin 3x \log (\sin x)dx=\frac{1}{9}(3 \log 2-7)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin 3x \log (\cos x)dx=\frac{5}{9}\\
\end{alignat}









<証明>

次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)(D)(E)(F)(G)(H)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \log ( \sin x)dx=-1\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \log ( \sin x)dx=\log 2-1\\
&(C)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \log ( \cos x)dx=-1\\
&(D)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \log ( \cos x)dx=\log2 -1\\
&(E)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^3 x \log (\sin x)dx=\frac{1}{9}(6 \log 2-5)\\
&(F)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^3 x \log (\cos x)dx=\frac{1}{9}(6 \log 2-5)\\
&(G)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^3 x \log (\sin x)dx=-\frac{8}{9}\\
&(H)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^3 x \log (\cos x)dx=-\frac{8}{9}\\
\end{alignat}




全て \(3\) 倍角の公式を用いて積分を切り離し、

上記の定積分の結果を代入します。


\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 3x \log (\sin x)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (4 \cos^3 x-3 \cos x) \log (\sin x)dx\\
&=4\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^3 x \log (\sin x)dx-3\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \log (\sin x)dx\\
&=4\left(-\frac{8}{9}\right)-3(-1)=-\frac{32}{9}+3=-\frac{5}{9}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 3x \log (\sin x)dx=-\frac{5}{9}$$







\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 3x \log (\cos x)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (4 \cos^3 x-3 \cos x) \log (\cos x)dx\\
&=4\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^3 x \log (\cos x)dx-3\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos x \log (\cos x)dx\\
&=4 \cdot \frac{1}{9}(6 \log 2-5)-3 (\log 2-1)\\
&=\frac{1}{9}(24 \log 2-20-27 \log 2 +27)=\frac{1}{9}(7-3 \log 2)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 3x \log (\cos x)dx=\frac{1}{9}(7-3 \log 2)$$








\begin{alignat}{2}
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin 3x \log (\sin x)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (3 \sin x-4\sin^3 x) \log (\sin x)dx\\
&=3\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \log (\sin x)dx-4\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^3 x \log (\sin x)dx\\
&=3 (\log2-1) -4 \cdot \frac{1}{9}(6 \log 2-5)\\
&=\frac{1}{9}(27 \log 2-27-24 \log 2 +20)=\frac{1}{9}(3 \log 2-7)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin 3x \log (\sin x)dx=\frac{1}{9}(3 \log 2-7)$$







\begin{alignat}{2}
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin 3x \log (\cos x)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (3 \sin x-4\sin^3 x) \log (\cos x)dx\\
&=3\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin x \log (\cos x)dx-4\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^3 x \log (\cos x)dx\\
&=3(-1)-4 \left(-\frac{8}{9}\right)=-3+\frac{32}{9}=\frac{5}{9}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin 3x \log (\cos x)dx=\frac{5}{9}$$

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