cos^{3}xなどの級数展開

\begin{alignat}{2}
&(1)  \sin^2 x=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}\\
&(2)  \cos^2 x=1-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}\\
&(3)  \sin^3 x=\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(3^{2n+1}-3)x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
&(4)  \cos^3 x=\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(3^{2n}+3)x^{2n}}{(2n)!}\\
\end{alignat}








<証明>

次数を下げてから、三角関数の級数展開を行います。

\begin{alignat}{2}
&(1)  \sin^2 x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos 2x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!}\\
&         =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}\\
&         =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}\\
\end{alignat}以上より$$\sin^2 x=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}$$






\((2)\) 相互関係を用いることで、直ちに得ます。$$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}2^{2n-1}x^{2n}}{(2n)!}$$







\begin{alignat}{2}
&(3)  \sin^3 x=\frac{1}{4}(3 \sin x-\sin 3x)\\
&          =\frac{1}{4}\left\{3 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(3x)^{2n+1}}{(2n+1)!}\right\}\\
&          =\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}(3-3^{2n+1})\\
&          =\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(3^{2n+1}-3)x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\end{alignat}以上より$$\sin^3 x=\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(3^{2n+1}-3)x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$







\begin{alignat}{2}
&(4)  \cos^3 x=\frac{1}{4}( \cos 3x-3\cos x)\\
&          =\frac{1}{4}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(3x)^{2n}}{(2n)!}+3\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\right\}\\
&          =\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(3^{2n}+3)x^{2n}}{(2n)!}
\end{alignat}以上より$$\cos^3 x=\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(3^{2n}+3)x^{2n}}{(2n)!}$$

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