cosax/(b^4-x^4)[0,∞]などの定積分


\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{b^4-x^4}dx=\frac{π}{4b^3}(e^{-ab}+\sin ab)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{b^4-x^4}dx=\frac{π}{4b^2}(e^{-ab}-\cos ab)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cos ax}{b^4-x^4}dx=-\frac{π}{4b}(e^{-ab}-\sin ab)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\sin ax}{b^4-x^4}dx=-\frac{π}{4}(e^{-ab}+\cos ab)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)










<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{x^2+b^2}dx=\frac{πe^{-ab}}{2b}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{b^2-x^2}dx=\frac{π}{2b}\sin (ab)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)




\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{b^4-x^4}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{(b^2-x^2)(b^2+x^2)}dx\\
&=\frac{1}{2b^2}\displaystyle\int_0^{\infty} \cos ax\left(\frac{1}{b^2-x^2}+\frac{1}{x^2+b^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{2b^2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{b^2-x^2}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{x^2+b^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{2b^2}\left(\frac{π}{2b}\sin ab+\frac{πe^{-ab}}{2b}\right)=\frac{π}{4b^3}(e^{-ab}+\sin ab)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{b^4-x^4}dx=\frac{π}{4b^3}(e^{-ab}+\sin ab)$$






\((2)\) \((1)\) の式の両辺を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-x \sin ax}{b^4-x^4}dx&=\frac{π}{4b^3}(-be^{-ab}+b \cos ab)\\
&=-\frac{π}{4b^2}(e^{-ab}-\cos ab)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x\sin ax}{b^4-x^4}dx=\frac{π}{4b^2}(e^{-ab}-\cos ab)$$







\((3)\) \((2)\) の式の両辺を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2 \cos ax}{b^4-x^4}dx&=\frac{π}{4b^2}(-be^{-ab}+b \sin ab)\\
&=-\frac{π}{4b}(e^{-ab}-\sin ab)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\cos ax}{b^4-x^4}dx=-\frac{π}{4b}(e^{-ab}-\sin ab)$$






\((4)\) \((3)\) の式の両辺を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{-x^3 \sin ax}{b^4-x^4}dx&=-\frac{π}{4b}(-be^{-ab}-b \cos ab)\\
&=\frac{π}{4b}(e^{-ab}+\cos ab)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^3\sin ax}{b^4-x^4}dx=-\frac{π}{4}(e^{-ab}+\cos ab)$$

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