(cosax-cosbx)/x(x+p)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax-ax \cos ax}{x^3}dx=\frac{πa^2}{4}\mathrm{sign} \, a \\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax-\cos bx}{x(x+p)}dx  ( a,b,p \gt 0) \\
&=\frac{1}{p}\left\{\mathrm{ci}(ap) \cos (ap)+\mathrm{si}(ap) \sin (ap)-\mathrm{ci}(bp) \cos (bp)-\mathrm{ci}(bp) \cos (bp)+\log \frac{b}{a}\right\}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos b_kxdx=-\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \log b_k  \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k=0,\,b_k \gt 0\right)
\end{alignat}








<証明>

\((1)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&   \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax-ax \cos ax}{x^3}dx\\
&=\left[-\frac{\sin ax-ax \cos ax}{2x^2}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{a \cos ax-a (\cos ax-\sin ax)}{2x^2}dx\\
\end{alignat}左の括弧の計算はロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax-ax \cos ax}{x^2}&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{a \cos ax-a (\cos ax-ax \sin ax)}{2x}\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{a^2 \sin ax}{2}=0\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax-ax \cos ax}{x^3}dx=\frac{a^2}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin ax}{x}dx=\frac{π^2a^2}{4}\mathrm{sign}\,a$$






\((2)\) 次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax- \cos bx}{x}dx=\log \frac{b}{a}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos (ax)}{x+b}dx=-\sin(ab)\mathrm{si
} (ab) – \cos (ab) \mathrm{ci} (ab)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)

\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax-\cos bx}{x(x+p)}dx\\
&=\frac{1}{p}\displaystyle\int_0^{\infty} (\cos ax-\cos bx)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+p}\right)dx\\
&=\frac{1}{p}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax- \cos bx}{x}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax}{x+p}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos bx}{x+p}dx\right)\\
&=\frac{1}{p}\left\{\log \frac{b}{a} +\sin(ap)\mathrm{si
} (ap) + \cos (ap) \mathrm{ci} (ap)-\sin(bp)\mathrm{si
} (bp) – \cos (bp) \mathrm{ci} (bp)\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax-\cos bx}{x(x+p)}dx=\frac{1}{p}\left\{\mathrm{ci}(ap) \cos (ap)+\mathrm{si}(ap) \sin (ap)-\mathrm{ci}(bp) \cos (bp)-\mathrm{ci}(bp) \cos (bp)+\log \frac{b}{a}\right\}$$






\((3)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-px}}{x}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos b_kxdx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
I’(p)&=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-px}(a_1 \cos b_1x+a_2\cos b_2x+ \dots +a_n \cos b_nx)dx\\
&=-\left(\frac{a_1p}{p^2+b_1^2}+\frac{a_2p}{p^2+b_2^2}+ \cdots +\frac{a_np}{p^2+b_n^2}\right)\\
\end{alignat}両辺を \(p\) で積分します。$$I(p)=-\left\{\frac{a_1}{2}\log (p^2+b_1^2)+\frac{a_1}{2}\log (p^2+b_1^2)+ \cdots \frac{a_n}{2}\log (p^2+b_n^2)\right\}+C$$\(I(∞)=0\) より \(C\) を求めます。

\(\displaystyle\lim_{p \to \infty} \log (p^2+b_k^2)=A\) を書くことにすると
\begin{alignat}{2}
I(∞)&=-\left(\frac{a_1}{2}A+\frac{a_2}{2}A+ \cdots +\frac{a_n}{2}A\right)+C\\
&=-\frac{1}{2}A(a_1+a_2+ \cdots +a_n)+C\\
&=-\frac{1}{2}A \displaystyle\sum_{k=1}^na_k+C=0,  C=0\\
\end{alignat}求める定積分は \(I(0)\) だから、\(p=0\) とします。
\begin{alignat}{2}
I(o)&=-\left(\frac{a_1}{2}\log b_1^2+\frac{a_2}{2}\log b_2^2+ \cdots+\frac{a_n}{2}\log b_n^2\right)\\
&=-(a_1 \log b_1+a_2 \log b_2+ \cdots +a_n \log b_n)\\
&=-\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \log b_k
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \cos b_kxdx=-\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \log b_k  \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k=0,\,b_k \gt 0\right)$$

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