cosaxcoshbx/coshcx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax \sinh bx}{\sinh cx}dx=\frac{π}{2c}\cdot \frac{\sin \frac{πb}{c}}{\cosh \frac{πa}{c}+\cos \frac{πb}{c}}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax \cosh bx}{\cosh cx}dx=\frac{π}{c}\cdot \frac{\cos \frac{πb}{2c} \cosh \frac{πa}{2c}}{\cosh \frac{πa}{c}+\cos \frac{πb}{c}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(c \gt 0\)









<証明> 

次の等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \tan A+\tan B=\frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}\\
&(B)  ψ\left(\frac{3}{4}+x\right)-ψ\left(\frac{1}{4}-x\right)=π\tan π\left(x+\frac{1}{4}\right)\\
&(C)  ψ\left(\frac{1}{4}+x\right)-ψ\left(\frac{3}{4}-x\right)=π\tan π\left(x-\frac{1}{4}\right)\\
\end{alignat}





\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax \sinh bx}{\sinh cx}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{iax}+e^{-iax}}{2} \cdot \frac{e^{bx}-e^{-bx}}{2} \cdot \frac{2}{e^{cx}-e^{-cx}}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(e^{iax}+e^{-iax})(e^{bx}-e^{-bx})}{e^{cx}-e^{-cx}}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-cx}\{e^{(b+ia)x}-e^{-(b-ia)x}+e^{(b-ia)x}-e^{-(b+ia)x}\}}{1-e^{-2cx}}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{(b-c+ia)x}-e^{-(b+c-ia)x}+e^{(b-c-ia)x}-e^{-(b+c+ia)x}}{1-e^{-2cx}}dx\\
\end{alignat}\(e^{-2cx}=t\) と置きます。\((-2ce^{-2cx}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_1^0 \frac{t^{-\frac{b-c+ia}{2c}}-t^{\frac{b+c-ia}{2c}}+t^{-\frac{b-c-ia}{2c}}-t^{\frac{b+c+ia}{2c}}}{1-t} \cdot \frac{1}{-2ct}dt\\
&=\frac{1}{4c}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{-\frac{b+ia}{2c}-\frac{1}{2}}-t^{\frac{b-ia}{2c}-\frac{1}{2}}+t^{-\frac{b-ia}{2c}-\frac{1}{2}}-t^{\frac{b+ia}{2c}-\frac{1}{2}}}{1-t}dt\\
&=\frac{1}{4c}\left\{ψ\left(\frac{1}{2}+\frac{b-ia}{2c}\right)-ψ\left(\frac{1}{2}-\frac{b+ia}{2c}\right)+ψ\left(\frac{1}{2}+\frac{b+ia}{2c}\right)-ψ\left(\frac{1}{2}-\frac{b-ia}{2c}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{4c}\left\{π\tan π\left(\frac{b+ia}{2c}\right)+π\tan π\left(\frac{b-ia}{2c}\right)\right\}\\
&=\frac{π}{4c}\left\{\tan π\left(\frac{b+ia}{2c}\right)+\tan π\left(\frac{b-ia}{2c}\right)\right\}\\
&=\frac{π}{4c} \cdot \frac{\sin π\left(\frac{b+ia}{2c}+\frac{b-ia}{2c}\right)}{\cos π\left(\frac{b+ia}{2c}\right)\cos π\left(\frac{b-ia}{2c}\right)}=\frac{π}{2c}\cdot \frac{\sin \frac{πb}{c}}{\cos \frac{πb}{c}+\cos \frac{iπa}{2c}}=\frac{π}{2c}\cdot \frac{\sin \frac{πb}{c}}{\cosh \frac{πa}{2c}+\cos \frac{πb}{c}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax \sinh bx}{\sinh cx}dx=\frac{π}{2c}\cdot \frac{\sin \frac{πb}{c}}{\cosh \frac{πa}{2c}+\cos \frac{πb}{c}}$$







\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax \cosh bx}{\cosh cx}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{iax}+e^{-iax}}{2} \cdot \frac{e^{bx}+e^{-bx}}{2} \cdot \frac{2}{e^{cx}+e^{-cx}}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(e^{iax}+e^{-iax})(e^{bx}+e^{-bx})}{e^{cx}+e^{-cx}}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-cx}\{e^{(b+ia)x}+e^{-(b-ia)x}+e^{(b-ia)x}+e^{-(b+ia)x}\}}{1+e^{-2cx}}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{(b-c+ia)x}+e^{-(b+c-ia)x}+e^{(b-c-ia)x}+e^{-(b+c+ia)x}}{1+e^{-2cx}}dx\\
\end{alignat}\(e^{-2cx}=t\) と置きます。\((-2ce^{-2cx}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_1^0 \frac{t^{-\frac{b-c+ia}{2c}}+t^{\frac{b+c-ia}{2c}}+t^{-\frac{b-c-ia}{2c}}+t^{\frac{b+c+ia}{2c}}}{1+t} \cdot \frac{1}{-2ct}dt\\
&=\frac{1}{4c}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{-\frac{b+ia}{2c}-\frac{1}{2}}+t^{\frac{b-ia}{2c}-\frac{1}{2}}+t^{-\frac{b-ia}{2c}-\frac{1}{2}}+t^{\frac{b+ia}{2c}-\frac{1}{2}}}{1+t}dt\\
&=\frac{1}{4c}\displaystyle\int_0^1 \frac{(1-t)(t^{-\frac{b+ia}{2c}-\frac{1}{2}}+t^{\frac{b-ia}{2c}-\frac{1}{2}}+t^{-\frac{b-ia}{2c}-\frac{1}{2}}+t^{\frac{b+ia}{2c}-\frac{1}{2}})}{(1-t)(1+t)}dt\\
&=\frac{1}{4c}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{-\frac{b+ia}{2c}-\frac{1}{2}}+t^{\frac{b-ia}{2c}-\frac{1}{2}}+t^{-\frac{b-ia}{2c}-\frac{1}{2}}+t^{\frac{b+ia}{2c}-\frac{1}{2}}-t^{-\frac{b+ia}{2c}+\frac{1}{2}}-t^{\frac{b-ia}{2c}+\frac{1}{2}}-t^{-\frac{b-ia}{2c}+\frac{1}{2}}-t^{\frac{b+ia}{2c}+\frac{1}{2}}}{1-t^2}dt\\
\end{alignat}\(t^2=s\) と置きます。\((2tdt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{4c}\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{-\frac{b+ia}{4c}-\frac{1}{4}}+s^{\frac{b-ia}{4c}-\frac{1}{4}}+s^{-\frac{b-ia}{4c}-\frac{1}{4}}+s^{\frac{b+ia}{4c}-\frac{1}{4}}-s^{-\frac{b+ia}{4c}+\frac{1}{4}}-s^{\frac{b-ia}{4c}+\frac{1}{4}}-s^{-\frac{b-ia}{4c}+\frac{1}{4}}-s^{\frac{b+ia}{4c}+\frac{1}{4}}}{1-s} \cdot \frac{1}{2s^{\frac{1}{2}}}ds\\
&=\frac{1}{8c}\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{-\frac{b+ia}{4c}-\frac{3}{4}}+s^{\frac{b-ia}{4c}-\frac{3}{4}}+s^{-\frac{b-ia}{4c}-\frac{3}{4}}+s^{\frac{b+ia}{4c}-\frac{3}{4}}-s^{-\frac{b+ia}{4c}-\frac{1}{4}}-s^{\frac{b-ia}{4c}-\frac{1}{4}}-s^{-\frac{b-ia}{4c}-\frac{1}{4}}-s^{\frac{b+ia}{4c}-\frac{1}{4}}}{1-s}ds\\
&=\frac{1}{8c}\left\{ψ\left(\frac{3}{4}-\frac{b+ia}{4c}\right)-ψ\left(\frac{1}{4}-\frac{b+ia}{4c}\right)+ψ\left(\frac{3}{4}+\frac{b-ia}{4c}\right)-ψ\left(\frac{1}{4}+\frac{b-ia}{4c}\right)-ψ\left(\frac{3}{4}-\frac{b-ia}{4c}\right)-ψ\left(\frac{1}{4}-\frac{b-ia}{4c}\right)+ψ\left(\frac{3}{4}+\frac{b+ia}{4c}\right)-ψ\left(\frac{1}{4}+\frac{b+ia}{4c}\right)\right\}
\end{alignat}ここで \((A)(B)\) の式を用いると
\begin{alignat}{2}
&ψ\left(\frac{3}{4}+\frac{b+ia}{4c}\right)-ψ\left(\frac{1}{4}-\frac{b+ia}{4c}\right)=π\tan π\left(\frac{b+ia}{4c}+\frac{1}{4}\right)\\
&ψ\left(\frac{3}{4}+\frac{b-ia}{4c}\right)-ψ\left(\frac{1}{4}-\frac{b-ia}{4c}\right)=π\tan π\left(\frac{b-ia}{4c}+\frac{1}{4}\right)\\
&ψ\left(\frac{1}{4}+\frac{b+ia}{4c}\right)-ψ\left(\frac{3}{4}-\frac{b+ia}{4c}\right)=π\tan π\left(\frac{b+ia}{4c}-\frac{1}{4}\right)\\
&ψ\left(\frac{1}{4}+\frac{b-ia}{4c}\right)-ψ\left(\frac{3}{4}-\frac{b-ia}{4c}\right)=π\tan π\left(\frac{b-ia}{4c}-\frac{1}{4}\right)\\
\end{alignat}であるので
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{8c}\left\{π\tan π\left(\frac{b+ia}{4c}+\frac{1}{4}\right)+π\tan π\left(\frac{b-ia}{4c}+\frac{1}{4}\right)-π\tan π\left(\frac{b+ia}{4c}-\frac{1}{4}\right)-π\tan π\left(\frac{b-ia}{4c}-\frac{1}{4}\right)\right\}\\
&=\frac{π}{8c}\left[\tan π\left(\frac{b+ia}{4c}+\frac{1}{4}\right)+\tan \left(\frac{b-ia}{4c}+\frac{1}{4}\right)-\left\{\tan π\left(\frac{b+ia}{4c}-\frac{1}{4}\right)+\tan π\left(\frac{b-ia}{4c}-\frac{1}{4}\right)\right\}\right]\\
&=\frac{π}{8c}\left\{ \frac{\sin π\left(\frac{b+ia}{4c}+\frac{1}{4}+\frac{b-ia}{4c}+\frac{1}{4}\right)}{\cos π\left(\frac{b+ia}{4c}+\frac{1}{4}\right)\cos π\left(\frac{b-ia}{4c}+\frac{1}{4}\right)}-\frac{\sin π\left(\frac{b+ia}{4c}-\frac{1}{4}+\frac{b-ia}{4c}-\frac{1}{4}\right)}{\cos π\left(\frac{b+ia}{4c}-\frac{1}{4}\right)\cos π\left(\frac{b-ia}{4c}-\frac{1}{4}\right)}\right\}\\
&=\frac{π}{4c}\left\{ \frac{\sin π\left(\frac{b}{2c}+\frac{1}{2}\right)}{\cos π\left(\frac{b}{2c}+\frac{1}{2}\right)+\cos \frac{iπa}{2c}}-\frac{\sin π\left(\frac{b}{2c}-\frac{1}{2}\right)}{\cos π\left(\frac{b}{2c}-\frac{1}{2}\right)+\cos \frac{iπa}{2c}}\right\}=\frac{π}{4c}\left(\frac{\cos \frac{πb}{2c}}{-\sin \frac{πb}{2c}+\cosh \frac{πa}{2c}}+\frac{\cos \frac{πb}{2c}}{\sin \frac{πb}{2c}+\cosh \frac{πa}{2c}}\right)\\
&=\frac{π}{4c}\cos \frac{πb}{2c} \cdot \frac{\cosh \frac{πa}{2c}+\sin \frac{πb}{2c}+\cosh \frac{πa}{2c}-\sin \frac{πb}{2c}}{\left(\cosh \frac{πa}{2c}+\sin \frac{πb}{2c}\right)\left(\cosh \frac{πa}{2c}-\sin \frac{πb}{2c}\right)}\\
&=\frac{π}{2c}\cdot \frac{\cos \frac{πb}{2c} \cosh \frac{πa}{2c}}{\cosh^2 \frac{πa}{2c}-\sin^2 \frac{πb}{2c}}=\frac{π}{c}\cdot \frac{\cos \frac{πb}{2c} \cosh \frac{πa}{c}}{1+\cosh \frac{πa}{c}-\left(1-\cos \frac{πb}{c}\right)}=\frac{π}{c}\cdot \frac{\cos \frac{πb}{2c} \cosh \frac{πa}{2c}}{\cosh \frac{πa}{c}+\cos \frac{πb}{c}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax \cosh bx}{\cosh cx}dx=\frac{π}{c}\cdot \frac{\cos \frac{πb}{2c} \cosh \frac{πa}{2c}}{\cosh \frac{πa}{c}+\cos \frac{πb}{c}}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です