cosh7倍角までの公式

\begin{alignat}{2}
&(1)  \cosh 2x=2 \cosh^2 x-1\\
&(2)  \cosh 3x=4 \cosh^3 x-3 \cosh x \\
&(3)  \cosh 4x=8 \cosh^4 x-8\cosh^2 x+1\\
&(4)  \cosh 5x=16 \cosh^5 x-20 \cosh^3 x+5 \cosh x\\
&(5)  \cosh 6x=32 \cosh^6 x-48 \cosh^4 x+18 \cosh^2 x-1\\
&(6)  \cosh 7x=64 \cosh^7 x-112 \cosh^5 x+56 \cosh^3 x-7 \cosh x\\
\end{alignat}










\((3)\) から \((7)\) のみ証明します。

また、途中で用いている \(\sinh\) の倍角の公式の詳細はこちらです。

<証明>

\begin{alignat}{2}
(3)  \cosh 4x&=2 \cosh^2 2x-1\\
&=2(2 \cosh^2 x-1)^2-1\\
&=2(4 \cosh^4 x-4 \cosh^2 x+1)-1\\
&=8 \cosh^4 x-8\cosh^2 x+1
\end{alignat}以上より$$\cosh 4x=8 \cosh^4 x-8\cosh^2 x+1$$








\begin{alignat}{2}
(4)  \cosh 5x&=\cosh (4x+x)\\
&=\cosh 4x \cosh x+\sinh 4x \sinh x\\
&=(8 \cosh^4 x-8\cosh^2 x+1)\cosh x+\sinh x \cosh x(4 \sinh x+8\sinh^3 x)\\
&=8 \cosh^5 x-8 \cosh^3 x+\cosh x+4 \sinh^2 x \cosh x+8 \sinh^4 x \cosh x\\
&=8 \cosh^5 x-8 \cosh^3 x+\cosh x+4 \cosh x(\cosh^2 x-1)+8 \cosh x(\cosh^2 x-1)^2\\
&=8 \cosh^5 x-8 \cosh^3 x+\cosh x+4 \cosh x(\cosh^2 x-1)+8 \cosh x(\cosh^4 x-2 \cosh^2 x+1)\\
&=8 \cosh^5 x-8 \cosh^3 x+\cosh x+4 \cosh^3 x-4\cosh x+8 \cosh^5 x-16 \cosh^3 x+8 \cosh x\\
&=16 \cosh^5 x-20 \cosh^3 x+5 \cosh x
\end{alignat}以上より$$\cosh 5x=16 \cosh^5 x-20 \cosh^3 x+5 \cosh x$$







\begin{alignat}{2}
(5)  \cosh 6x&=2 \cosh^2 3x-1\\
&=2(4 \cosh^3 x-3 \cosh x)^2-1\\
&=2(16 \cosh^6 x-24 \cosh^4 x+9 \cosh^2 x)-1\\
&=32 \cosh^6 x-48 \cosh^4 x+18 \cosh^2 x-1
\end{alignat}以上より$$\cosh 6x=32 \cosh^6 x-48 \cosh^4 x+18 \cosh^2 x-1$$







\begin{alignat}{2}
(6)  \cosh 7x&= \cosh (6x+x)\\
&=\cosh 6x \cosh x+\sinh 6x \sinh x\\
&=(32 \cosh^6 x-48 \cosh^4 x+18 \cosh^2 x-1)\cosh x+\cosh x(6 \sinh x+32 \sinh^3 x+32 \sinh^5 x) \sinh x\\
&=(32 \cosh^6 x-48 \cosh^4 x+18 \cosh^2 x-1)\cosh x+ \cosh x(6 +32 \sinh^2 x+32 \sinh^4 x) \sinh^2 x\\
&=(32 \cosh^6 x-48 \cosh^4 x+18 \cosh^2 x-1)\cosh x+ \cosh x\{6 +32 (\cosh^2 x-1)+32 (\cosh^2 x-1)^2\} (\cosh^2 x-1)\\
&=(32 \cosh^6 x-48 \cosh^4 x+18 \cosh^2 x-1)\cosh x+ \cosh x\{6 +32 (\cosh^2 x-1)+32 (\cosh^4 x-2 \cosh^2 x+1)\} (\cosh^2 x-1)\\
&=(32 \cosh^6 x-48 \cosh^4 x+18 \cosh^2 x-1)\cosh x+\cosh x(6 +32\cosh^2 x-32 +32 \cosh^4 x-64 \cosh^2 x+32 ) (\cosh^2 x-1)\\
&=(32 \cosh^6 x-48 \cosh^4 x+18 \cosh^2 x-1)\cosh x- \cosh x(6-32 \cosh^2 x+32 \cosh^4 x)(1-\cosh^2 x)\\
&=(32 \cosh^6 x-48 \cosh^4 x+18 \cosh^2 x-1)\cosh x- (6-32 \cosh^2 x +32 \cosh^4 x-6 \cosh^2 x+32 \cosh^4 x-32 \cosh^6 x)\cosh x\\
&=(32 \cosh^6 x-48 \cosh^4 x+18 \cosh^2 x-1)\cosh x- (6-38 \cosh^2 x+64 \cosh^4 x-32 \cosh^6 x)\cosh x\\
&=(64 \cosh^6 x-112 \cosh^4 x+56 \cosh^2 x-7) \cosh x\\
&=64 \cosh^7 x-112 \cosh^5 x+56 \cosh^3 x-7 \cosh x
\end{alignat}以上より$$\cosh 7x=64 \cosh^7 x-112 \cosh^5 x+56 \cosh^3 x-7 \cosh x$$

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