{cos^{m}axcos(max)-cos^{m}bxcos(mbx)}/x[0,∞]などの定積分(フルラニ積分)

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n+1} ax- \cos^{2n+1} bx}{x}dx=\log \frac{b}{a}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^m ax \cos(max)-\cos^m bx \cos (mbx)}{x}dx=\left(1-\frac{1}{2^m}\right)\log \frac{b}{a}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0,\) \(n,m\) は \(0\) 以上の整数







<証明>

次の公式を用いて、三角関数の次数を下げます。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A) \cos^{2n} x=\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_k \cos (2n-2k)x\\
&(B) \cos^{2n+1} x=\frac{1}{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_{2n+1}\mathrm{C}_k \cos (2n-2k+1)x
\end{alignat}ただし \(n\) は \(0\) 以上の整数。

また、次の積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(C) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos ax- \cos bx}{x}dx=\log \frac{b}{a}\\
&(D) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 ax- \cos^2 bx}{x}dx=\frac{1}{2}\log \frac{b}{a}
\end{alignat}ただし \(a,b \gt 0\)








\((1)\) \((B)\) を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n+1} ax- \cos^{2n+1} bx}{x}dx=\log \frac{b}{a}\\
&=\frac{1}{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_{2n+1}\mathrm{C}_k \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos (2n-2k+1)ax-\cos (2n-2k+1) bx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_{2n+1}\mathrm{C}_k \log \frac{b}{a}\\
\end{alignat}シグマの計算をします。\((1+x)^{2n+1}\) を二項展開します。
\begin{alignat}{2}
&(1+x)^{2n+1}={}_{2n+1}\mathrm{C}_0+{}_{2n+1}\mathrm{C}_1 x+{}_{2n+1}\mathrm{C}_2 x^2+  \cdots\\
&\\
&             \cdots +{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n-1}x^{n-1}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_n x^n+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+1}x^{n+1}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+2}x^{n+2}+\cdots \\
&\\
&                     \cdots     +{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n}x^{2n}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1}x^{2n+1}\\
\end{alignat}\(x=1\) とします。\begin{alignat}{2}
&2^{2n+1}=({}_{2n+1}\mathrm{C}_0+{}_{2n+1}\mathrm{C}_1 +{}_{2n+1}\mathrm{C}_2+  \cdots\\
&\\
&             \cdots +{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n-1}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_n)+({}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+1}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+2}+  \cdots +{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1})\
\end{alignat}前半の \(n+1\) 項と後半の \(n+1\) 項が求めるシグマの値であるので$$2\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_{2n+1}\mathrm{C}_k=2^{2n+1},  \displaystyle\sum_{k=0}^n {}_{2n+1}\mathrm{C}_k=2^{2n}$$よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n+1} ax- \cos^{2n+1} bx}{x}dx=\frac{1}{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_{2n+1}\mathrm{C}_k \log \frac{b}{a}=\frac{1}{2^{2n}} \cdot 2^{2n}\log \frac{b}{a}=\log \frac{b}{a}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n+1} ax- \cos^{2n+1} bx}{x}dx=\log \frac{b}{a}$$







\((2)\) \(m\) が偶数と奇数のときを計算します。


\((α)\)  \(m=2n\) のとき (ただし \(n\) は \(0\) 以上の自然数)

\((A)\) を用いますが、シグマにおいて \(k=0\) のときは \(\cos\) が \(2\) 乗になり、

積分値が異なるので、シグマの外に出しておきます。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n} ax \cos(2nax)-\cos^{2n} bx \cos (2nbx)}{x}dx\\
&=\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2^{2n}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos(2nax)-\cos (2nbx)}{x}dx+\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 (2nax)-\cos^2 (2nbx)}{x}dx\\
&        +\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_k \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos (2n-2k)ax \cos (2nax)-\cos (2n-2k)bx \cos (2nbx)}{x}dx\\
&=\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2^{2n}}\log \frac{b}{a}+\frac{1}{2^{2n-1}}\cdot \frac{1}{2}\log \frac{b}{a}+\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_k\log \frac{b}{a}\\
&=\left(\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n-1}}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_k\right)\log \frac{b}{a}\\
\end{alignat}シグマの計算をします。\((1+x)^{2n}\) を二項展開します。
\begin{alignat}{2}
&(1+x)^{2n}={}_{2n}\mathrm{C}_0+{}_{2n}\mathrm{C}_1 x+{}_{2n}\mathrm{C}_2 x^2+  \cdots\\
&\\
&             \cdots +{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1}x^{n-1}+{}_{2n}\mathrm{C}_n x^n+{}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}x^{n+1}+{}_{2n}\mathrm{C}_{n+2}x^{n+2}+\cdots \\
&\\
&                     \cdots     +{}_{2n}\mathrm{C}_{2n-1}x^{2n-1}+{}_{2n}\mathrm{C}_{2n}x^{2n}\\
\end{alignat}\(x=1\) のとき
\begin{alignat}{2}
&2^{2n}={}_{2n}\mathrm{C}_0+({}_{2n}\mathrm{C}_1+{}_{2n}\mathrm{C}_2 +    \cdots +{}_{2n}\mathrm{C}_{n-1})+{}_{2n}\mathrm{C}_n+({}_{2n}\mathrm{C}_{n+1}+{}_{2n}\mathrm{C}_{n+2}+\cdots  +{}_{2n}\mathrm{C}_{2n-1})+{}_{2n}\mathrm{C}_{2n}\\
\end{alignat}上記の括弧の中が求めるシグマの値なので$$2^{2n}=2+{}_{2n}\mathrm{C}_n+2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_k,  \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_k=\frac{2^{2n}-{}_{2n}\mathrm{C}_n-2}{2}$$よって
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n} ax \cos(2nax)-\cos^{2n} bx \cos (2nbx)}{x}dx\\
&=\left(\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n-1}}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2n-1}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{}_{2n}\mathrm{C}_k\right)\log \frac{b}{a}\\
&=\left(\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n}{2^{2n}}+\frac{1}{2^{2n-1}}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2n-1}}\cdot \frac{2^{2n}-{}_{2n}\mathrm{C}_n-2}{2}\right)\log \frac{b}{a}\\
&=\frac{{}_{2n}\mathrm{C}_n+1+2^{2n}-{}_{2n}\mathrm{C}_n-2}{2^{2n}}\log \frac{b}{a}=\left(1-\frac{1}{2^{2n}}\right)\log \frac{b}{a}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n} ax \cos(2nax)-\cos^{2n} bx \cos (2nbx)}{x}dx=\left(1-\frac{1}{2^{2n}}\right)\log \frac{b}{a}$$





\((β)\)  \(m=2n+1\) のとき (ただし \(n\) は \(0\) 以上の自然数)

\((B)\) を用いますが、同様にシグマにおいて \(k=0\) のときは \(\cos\) が \(2\) 乗になり、

積分値が異なるので、シグマの外に出しておきます。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n+1} ax \cos (2n+1)ax-\cos^{2n+1} bx \cos (2n+1)bx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2^{2n}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^2 (2n+1)ax-\cos^2 (2n+1)bx}{x}dx\\
&        +\frac{1}{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{}_{2n+1}\mathrm{C}_k \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos (2n-2k+1)ax \cos (2n+1)ax-\cos (2n-2k+1)bx \cos (2n+1)bx}{x}dx\\
&=\frac{1}{2^{2n}} \cdot \frac{1}{2} \log \frac{b}{a}+\frac{1}{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{}_{2n+1}\mathrm{C}_k\log \frac{b}{a}\\
&=\left(\frac{1}{2^{2n+1}}+\frac{1}{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{}_{2n+1}\mathrm{C}_k\right)\log \frac{b}{a}\\
\end{alignat}シグマの計算をします。\((1+x)^{2n+1}\) を二項展開します。
\begin{alignat}{2}
&(1+x)^{2n+1}={}_{2n+1}\mathrm{C}_0+{}_{2n}\mathrm{C}_1 x+{}_{2n+1}\mathrm{C}_2 x^2+  \cdots\\
&\\
&             \cdots +{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n-1} x^{n-1}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_n x^n+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+1} x^{n+1}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+2} x^{n+2}+\cdots \\
&\\
&                     \cdots     +{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n} x^{2n}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1}x^{2n+1}\\
\end{alignat}\(x=1\) のとき
\begin{alignat}{2}
&2^{2n+1}={}_{2n+1}\mathrm{C}_0+({}_{2n+1}\mathrm{C}_1+{}_{2n+1}\mathrm{C}_2 +    \cdots +{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n-1}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_n)\\
&\\
&        +({}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+1}+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{n+2}+\cdots  +{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n})+{}_{2n+1}\mathrm{C}_{2n+1}\\
\end{alignat}上記の括弧の中が求めるシグマの値なので$$2^{2n+1}=2+2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{}_{2n+1}\mathrm{C}_k,  \displaystyle\sum_{k=1}^{n}{}_{2n+1}\mathrm{C}_k=2^{2n}-1$$よって
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n+1} ax \cos(2n+1)ax-\cos^{2n+1} bx \cos (2n+1)bx}{x}dx\\
&=\left(\frac{1}{2^{2n+1}}+\frac{1}{2^{2n}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{}_{2n+1}\mathrm{C}_k\right)\log \frac{b}{a}=\left(\frac{1}{2^{2n+1}}+\frac{2^{2n}-1}{2^{2n}}\right)\log \frac{b}{a}\\
&=\frac{1+2^{2n+1}-2}{2^{2n+1}}\log \frac{b}{a}=\left(1-\frac{1}{2^{2n+1}}\right)\log \frac{b}{a}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^{2n+1} ax \cos(2n+1)ax-\cos^{2n+1} bx \cos (2n+1)bx}{x}dx=\left(1-\frac{1}{2^{2n+1}}\right)\log \frac{b}{a}$$



\(n\) が奇数と偶数のときの結果を合わせて$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos^m ax \cos(max)-\cos^m bx \cos (mbx)}{x}dx=\left(1-\frac{1}{2^m}\right)\log \frac{b}{a}$$




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