{cost-ax-a^{n}x^{n}cos(n+1)t+a^{n+1}x^{n+1}cosnt(1-x)^{p-1}}/(1-2axcost+a^2p^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{\{\sin t-a^nx^n\sin (n+1)t+a^{n+1}x^{n+1}\sin nt\}(1-x)^{p-1}}{1-2ax \cos t+a^2x^2}dx\\
&=Γ(p)\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(k-1)!a^{k-1}\sin kt}{Γ(p+k)}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{\{\cos t-ax-a^nx^n\cos (n+1)t+a^{n+1}x^{n+1}\cos nt\}(1-x)^{p-1}}{1-2ax \cos t+a^2x^2}dx\\
&=Γ(p)\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(k-1)!a^{k-1}\cos kt}{Γ(p+k)}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,p \gt 0\)









<証明>

次の級数における等式を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} p^k \sin kx=\frac{p \sin x-p^n \sin nx+p^{n+1} \sin (n-1)x}{1-2p \cos x+p^2}\\
&(B)  \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} p^k \cos kx=\frac{1-p \cos x-p^n \cos nx+p^{n+1} \cos (n-1)x}{1-2p \cos x+p^2}\\
\end{alignat}







\((1)\) \((A)\) の式について、求める積分に合わせて文字を置き換えます。$$\frac{ax \sin t-(ax)^{n+1}\sin (n+1)t+(ax)^{n+2}\sin nt}{1-2ac \cos t +a^2x^2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (ax)^k \sin kt$$両辺を \(ax\) で割り \((1-x)^{p-1}\) を掛けて \([0,1]\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{\{\sin t-a^nx^n\sin (n+1)t+a^{n+1}x^{n+1}\sin nt\}(1-x)^{p-1}}{1-2ax \cos t+a^2x^2}dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n a^{k-1} \sin kt \displaystyle\int_0^1 x^{k-1}(1-x)^{p-1}dx=\displaystyle\sum_{k=1}^n a^{k-1} \sin kt \cdot B(k,p)\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n a^{k-1} \sin kt \cdot \frac{Γ(k)Γ(p)}{Γ(p+k)}=Γ(p)\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(k-1)!a^{k-1}\sin kt}{Γ(p+k)}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\{\sin t-a^nx^n\sin (n+1)t+a^{n+1}x^{n+1}\sin nt\}(1-x)^{p-1}}{1-2ax \cos t+a^2x^2}dx=Γ(p)\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(k-1)!a^{k-1}\sin kt}{Γ(p+k)}$$








\((2)\) \((B)\) の式について、求める積分に合わせて文字を置き換えます。$$\frac{1-ax \cos t-(ax)^{n+1} \cos (n+1)t+(ax)^{n+2} \cos nt}{1-2ax \cos t+a^2x^2}=\displaystyle\sum_{k=0}^n (ax)^k \cos kt=1+\displaystyle\sum_{k=1}^n (ax)^k \cos kt$$右辺の \(1\) を左辺に移項して、式を改めて整理します。
\begin{alignat}{2}
&  \frac{1-ax \cos t-(ax)^{n+1} \cos (n+1)t+(ax)^{n+2} \cos nt}{1-2ax \cos t+a^2x^2}-1\\
&=\frac{1-ax \cos t-(ax)^{n+1} \cos (n+1)t+(ax)^{n+2} \cos nt-(1-2ax \cos t+a^2x^2)}{1-2ax \cos t+a^2x^2}\\
&=\frac{ax \cos t-a^2x^2-(ax)^{n+1} \cos (n+1)t+(ax)^{n+2} \cos nt}{1-2ax \cos t+a^2x^2}\\
\end{alignat}両辺を \(ax\) で割り \((1-x)^{p-1}\) を掛けて \([0,1]\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{\{\cos t-ax-a^nx^n\cos (n+1)t+a^{n+1}x^{n+1}\cos nt\}(1-x)^{p-1}}{1-2ax \cos t+a^2x^2}dx\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n a^{k-1} \cos kt \displaystyle\int_0^1 x^{k-1}(1-x)^{p-1}dx=\displaystyle\sum_{k=1}^n a^{k-1} \cos kt \cdot B(k,p)\\
&=\displaystyle\sum_{k=1}^n a^{k-1} \cos kt \cdot \frac{Γ(k)Γ(p)}{Γ(p+k)}=Γ(p)\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(k-1)!a^{k-1}\cos kt}{Γ(p+k)}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\{\cos t-ax-a^nx^n\cos (n+1)t+a^{n+1}x^{n+1}\cos nt\}(1-x)^{p-1}}{1-2ax \cos t+a^2x^2}dx=Γ(p)\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{(k-1)!a^{k-1}\cos kt}{Γ(p+k)}$$











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