{(cosx-1)/x^2+1/2(1+x)}1/x[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{e^{-x}-1}{x^2}+\frac{1}{1+x}\right)\frac{1}{x}dx=γ-1\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\right)dx=-γ\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \left(e^{-x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)\frac{1}{x}dx=-\frac{1}{2}γ\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{\cos x-1}{x^3}+\frac{1}{2(1+x)}\right\}\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}γ-\frac{3}{4}
\end{alignat}









<証明>

途中、定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty}\left(e^{-x}-\frac{1}{1+x}\right)\frac{1}{x}dx=-γ\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty}\left(\frac{\sin x}{x}-\frac{1}{1+x}\right)\frac{1}{x}dx\\
\end{alignat}





\((1)\) 積分を分けます。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{e^{-x}-1}{x}+\frac{1}{1+x}\right)\frac{1}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}-1}{x^2}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x(1+x)}dx$$左の積分を部分積分します。ロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}-1}{x^2}dx&=\left[-\frac{e^{-x}-1}{x}\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{x}dx\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{-x}-1}{x}-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{x}dx\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} (-e^{-x})-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{x}dx=-1-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{x}dx\\
\end{alignat}となるので、元の積分は
\begin{alignat}{2}
&=-1-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{x}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x(1+x)}dx\\
&=-1-\displaystyle\int_0^{\infty}\left(e^{-x}-\frac{1}{1+x}\right)\frac{1}{x}dx\\
&=-1-(-γ)=γ-1\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{e^{-x}-1}{x^2}+\frac{1}{1+x}\right)\frac{1}{x}dx=γ-1$$






\((2)\) 積分を切り分けます。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\right)dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{x}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}dx$$右の積分について \(e^x-1=t\) を置きます。[\((t+1)dx=dt\)]$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{e^x-1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{1+t}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x(1+x)}dx$$となるので、元の積分は
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-x}}{x}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x(1+x)}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty}\left(e^{-x}-\frac{1}{1+x}\right)\frac{1}{x}dx=-γ
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{e^{-x}}{x}-\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\right)dx=-γ$$







\((3)\) \(x^2=t\) と置きます。\((2xdx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \left(e^{-x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)\frac{1}{x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(e^{-t}-\frac{1}{1+t}\right)\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2x}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty}\left(e^{-t}-\frac{1}{1+t}\right)\frac{1}{t}dt=-\frac{1}{2}γ\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left(e^{-x^2}-\frac{1}{1+x^2}\right)\frac{1}{x}dx=-\frac{1}{2}γ$$







\((4)\) 積分を分けます。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{\cos x-1}{x^3}+\frac{1}{2(1+x)}\right\}\frac{1}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos x-1}{x^3}dx+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{1}{x(1+x)}dx$$左の積分を部分積分します。ロピタルの定理を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cos x-1}{x^3}dx&=\left[-\frac{\cos x-1}{2x^2}\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{2x^2}dx\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\cos x-1}{2x^2}-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{4x}-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x^2}dx\\
&=\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{4}-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x^2}dx\\
&=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x^2}dx\\
\end{alignat}となるので、元の積分は
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x^2}dx+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty}\frac{1}{x(1+x)}dx\\
&=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{\sin x}{x}-\frac{1}{1+x}\right)\frac{1}{x}dx\\
&=-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}(1-γ)=\frac{1}{2}γ-\frac{3}{4}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{\frac{\cos x-1}{x^3}+\frac{1}{2(1+x)}\right\}\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}γ-\frac{3}{4}$$

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