第2種ベータ分布

第 \(2\) 種ベータ分布の確率密度関数は次式で表されます。$$f(x;p,q)=\frac{1}{B(p,q)} \cdot \frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+1}}  (x \gt 0)$$

第 \(2\) 種ベータ分布の期待値と分散はそれぞれ$$E[X]=\frac{p}{q-1}  (q \gt 0),  V[X]=\frac{p(p+q-1)}{(q-2)(q-1)^2}  (q \gt 0)$$












<証明>

\((1)\) 全確率「\(1\)」を確認します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{1} f(x;p,q)dx&=\frac{1}{B(p,q)} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+1}}dx\\
&=\frac{1}{B(p,q)} \cdot B(p,q)=1\\
\end{alignat}







\((2)\) 期待値を求めます。
\begin{alignat}{2}
E[X]&=\frac{1}{B(p,q)} \cdot \displaystyle\int_0^{\infty} x \cdot \frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+1}}dx\\
&=\frac{1}{B(p,q)} \cdot \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p}}{(1+x)^{p+1}}dx\\
&=\frac{1}{B(p,q)} \cdot B(p+1,q-1)\\
&=\frac{1}{B(p,q)} \cdot \frac{p}{q-1}B(p,q)=\frac{p}{q-1}\\
\end{alignat}以上より$$E[X]=\frac{p}{q-1}  (q \gt 0)$$







\((3)\) 分散を求めます。まず \(E[X^2]\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
E[X^2]&=\frac{1}{B(p,q)} \cdot \displaystyle\int_0^{\infty} x^2 \cdot \frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+1}}dx\\
&=\frac{1}{B(p,q)} \cdot \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p+1}}{(1+x)^{p+1}}dx\\
&=\frac{1}{B(p,q)} \cdot B(p+2,q-2)\\
&=\frac{1}{B(p,q)} \cdot \frac{p+1}{q-2} \cdot \frac{p}{q-1}B(p,q)=\frac{p(p+1)}{(q-2)(q-1)}\\
\end{alignat}よって分散 \(V[X]\) は
\begin{alignat}{2}
V[X]&=E[X^2]-E[X]^2=\frac{p(p+1)}{(q-2)(q-1)}-\left(\frac{p}{q-1}\right)^2\\
&=\frac{p(p+1)(q-1)-p^2(q-2)}{(q-2)(q-1)^2}\\
&=\frac{p(pq-p+q-1)-p^2q+2p^2}{(q-2)(q-1)^2}\\
&=\frac{p^2q-p^2+pq-p-p^2q+2p^2}{(q-2)(q-1)^2}\\
&=\frac{p^2+pq-p}{(q-2)(q-1)^2}=\frac{p(p+q-1)}{(q-2)(q-1)^2}\\
\end{alignat}
以上より$$V[X]=\frac{p(p+q-1)}{(q-2)(q-1)^2}  (q \gt 0)$$

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