ディガンマ関数[5]

\begin{alignat}{2}
&(1) ψ\left(\frac{1}{8}\right)=-γ-4 \log2 -\frac{π}{2}-\frac{π+\log (\sqrt{2}+1)-\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\\
&(2) ψ\left(\frac{3}{8}\right)=-γ-4 \log2 +\frac{π}{2}-\frac{π-\log (\sqrt{2}+1)+\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\\
&(3) ψ\left(\frac{5}{8}\right)=-γ-4 \log2 -\frac{π}{2}+\frac{π+\log (\sqrt{2}+1)-\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\\
&(4) ψ\left(\frac{7}{8}\right)=-γ-4 \log2 +\frac{π}{2}+\frac{π-\log (\sqrt{2}+1)+\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\\
\end{alignat}









<証明>

次のディガンマ関数の公式などを用います。[証明はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  ψ(2x)=\frac{1}{2}ψ(x)+\frac{1}{2}ψ\left(x+\frac{1}{2}\right)+ \log 2\\
&(B)  ψ\left(\frac{x+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{x}{2}\right)=2β(x)=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{x+n}\\
&(C)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4n+1}=\frac{π+2 \coth^{-1}\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\\
\end{alignat}


\((A)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{1}{8}\) とします。$$ψ\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}ψ\left(\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{2}ψ\left(\frac{5}{8}\right)+ \log 2$$移行します。
\begin{alignat}{2}
&ψ\left(\frac{5}{8}\right)+ψ\left(\frac{1}{8}\right)=2ψ\left(\frac{1}{4}\right)-2 \log 2\\
&               =2\left(-γ-3 \log 2-\frac{π}{2}\right)-2\log 2\\
&               =-2γ-8 \log 2-π
\end{alignat}よって$$ψ\left(\frac{5}{8}\right)+ψ\left(\frac{1}{8}\right)=-2γ-8 \log 2-π  \cdots (D)$$


\((B)\) の式で \(\displaystyle x=\frac{1}{4}\) とします。
\begin{alignat}{2}
&ψ\left(\frac{5}{8}\right)-ψ\left(\frac{1}{8}\right)=2β\left(\frac{1}{4}\right)=2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+\frac{1}{4}}=2 \cdot 4 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4n+1}\\
&               =2 \cdot 4 \cdot \frac{π+2 \coth^{-1}\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=2 \cdot \frac{π+2 \coth^{-1}\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\
\end{alignat}よって$$ψ\left(\frac{5}{8}\right)-ψ\left(\frac{1}{8}\right)=2 \cdot \frac{π+\log (\sqrt{2}+1)-\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}  \cdots (E)\\$$

以上より、\(\displaystyle \frac{(D)-(E)}{2}, \frac{(D)+(E)}{2}\) を計算することで、次式を得ます。
\begin{alignat}{2}
&ψ\left(\frac{1}{8}\right)=-γ-4 \log2 -\frac{π}{2}-\frac{π+\log (\sqrt{2}+1)-\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\\
&\\
&ψ\left(\frac{5}{8}\right)=-γ-4 \log2 -\frac{π}{2}+\frac{π+\log (\sqrt{2}+1)-\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}
\end{alignat}

さらに、次のディガンマ関数の関係式より
\begin{alignat}{2}
&ψ\left(\frac{7}{8}\right)-ψ\left(\frac{1}{8}\right)=π\cot \frac{π}{8}=π(\sqrt{2}+1)\\
&\\
&ψ\left(\frac{5}{8}\right)-ψ\left(\frac{3}{8}\right)=π\cot \frac{3}{8}π=π(\sqrt{2}-1)\\
\end{alignat}これと、先ほどの結果を用います。

\begin{alignat}{2}
&ψ\left(\frac{7}{8}\right)=π(\sqrt{2}+1)+ψ\left(\frac{1}{8}\right)\\
&      =π(\sqrt{2}+1)-γ-4 \log2 -\frac{π}{2}-\frac{π+\log (\sqrt{2}+1)-\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\\
&      =-γ-4 \log2 +\frac{π}{2}+\frac{π-\log (\sqrt{2}+1)+\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\\
\end{alignat}

\begin{alignat}{2}
&ψ\left(\frac{3}{8}\right)=-π(\sqrt{2}-1)+ψ\left(\frac{5}{8}\right)\\
&      =-π(\sqrt{2}-1)-γ-4 \log2 -\frac{π}{2}+\frac{π+\log (\sqrt{2}+1)-\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\\
&      =-γ-4 \log2 +\frac{π}{2}-\frac{π-\log (\sqrt{2}+1)+\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\\
\end{alignat}
以上より
\begin{alignat}{2}
&ψ\left(\frac{3}{8}\right)=-γ-4 \log2 +\frac{π}{2}-\frac{π-\log (\sqrt{2}+1)+\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\\
&\\
&ψ\left(\frac{7}{8}\right)=-γ-4 \log2 +\frac{π}{2}+\frac{π-\log (\sqrt{2}+1)+\log (\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\\
\end{alignat}

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