ディガンマ関数[3]

以下の式はディガンマ関数に関する公式です。
\begin{alignat}{2}
&(1)   ψ\left(\frac{1}{2}+x\right)-ψ\left(\frac{1}{2}-x\right)=π\tan πx\\
&(2)  ψ\left(\frac{1}{4}+n\right)-ψ\left(\frac{3}{4}-n\right)=-π\\
&(3)  ψ\left(\frac{3}{4}+x\right)-ψ\left(\frac{1}{4}-x\right)=π\tan π\left(x+\frac{1}{4}\right)\\
&(4)  ψ\left(\frac{1}{4}+x\right)-ψ\left(\frac{3}{4}-x\right)=π\tan π\left(x-\frac{1}{4}\right)\\
&(5)  ψ(x-n)=ψ(x)-\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{x-k}\\
&(6)  ψ’(1-x)+ψ’(x)=\frac{π^2}{\sin^2 πx}\\
&(7)  \displaystyle\lim_{n \to \infty} \left\{ψ(x+n)-\log n\right\}=0\\
&(8)  ψ\left(\frac{x+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{x}{2}\right)=2β(x)\\
&(9)  ψ(nx)=\log n +\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} ψ\left(x+\frac{k}{n}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)







<証明>

次のディガンマ関数の公式を用います。$$ψ(1-x)-ψ(x)=π\cot πx  \cdots (A)$$

\begin{alignat}{2}
&(1)  ψ\left(\frac{1}{2}+x\right)-ψ\left(\frac{1}{2}-x\right)=ψ\left(1-\frac{1}{2}+x\right)-ψ\left(\frac{1}{2}-x\right)\\
&                          =ψ\left\{1-\left(\frac{1}{2}-x\right)\right\}-ψ\left(\frac{1}{2}-x\right)\\
&                          =π\cot \left(\frac{1}{2}-x\right)π=π\tan πx\\
\end{alignat}以上より$$ψ\left(\frac{1}{2}+x\right)-ψ\left(\frac{1}{2}-x\right)=π\tan πx$$





\begin{alignat}{2}
&(2)  ψ\left(\frac{1}{4}+n\right)-ψ\left(\frac{3}{4}-n\right)=ψ\left(1-\frac{3}{4}+n\right)-ψ\left(\frac{3}{4}-n\right)\\
&                          =ψ\left\{1-\left(\frac{3}{4}-n\right)\right\}-ψ\left(\frac{3}{4}-n\right)\\
&                          =π\cot \left(\frac{3}{4}-n\right)π=-π\\
\end{alignat}以上より$$ψ\left(\frac{1}{4}+n\right)-ψ\left(\frac{3}{4}-n\right)=-π$$






\((3)(4)\) \((1)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
ψ\left(\frac{3}{4}+x\right)-ψ\left(\frac{1}{4}-x\right)&=ψ\left\{\frac{1}{2}+\left(x+\frac{1}{4}\right)\right\}-ψ\left\{\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{4}\right)\right\}\\
&=π\tan π\left(x+\frac{1}{4}\right)\\
\\
ψ\left(\frac{1}{4}+x\right)-ψ\left(\frac{3}{4}-x\right)&=ψ\left\{\frac{1}{2}+\left(x-\frac{1}{4}\right)\right\}-ψ\left\{\frac{1}{2}-\left(x-\frac{1}{4}\right)\right\}\\
&=π\tan π\left(x-\frac{1}{4}\right)\\
\end{alignat}







\((5)\) 次のディガンマ関数の公式を用います。$$ψ(z+n)=ψ(z)+\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{z+k-1}  \cdots (B)$$\(z=x-n\) を代入します。$$ψ(x)=ψ(x-n)+\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{x-n+k-1}=ψ(x-n)+\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{x-k}$$移項します。$$ψ(x-n)=ψ(x)-\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{x-k}$$







\((6)\) \((A)\) の式の両辺を \(x\) で微分します。$$-ψ’(1-x)-ψ’(x)=-\frac{π^2}{\sin^2 πx}$$両辺を \((-1)\) 倍します。$$ψ’(1-x)+ψ’(x)=\frac{π^2}{\sin^2 πx}$$






\((7)\) \((B)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left\{ψ(x+n)-\log n\right\}=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left\{ψ(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{x+k-1}-\log n\right\}\\
&                    =\left\{ψ(x)-\displaystyle\lim_{n \to \infty}(\log n)\right\}+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{x+k-1}\\
&                    =-\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{x+k}+\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{x+k-1}=0\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left\{ψ(x+n)-\log n\right\}=0$$







\begin{alignat}{2}
&(8) ψ\left(\frac{x+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{x}{2}\right)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\frac{x}{2}+k}-\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{\frac{x+1}{2}+k}\\
&                     =2\left(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{x+2k}-\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{x+2k+1}\right)\\
&                     =2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+ \cdots \right)\\
&                     =2\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{x+k}=2β(x)\\
\end{alignat}以上より$$ψ\left(\frac{x+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{x}{2}\right)=2β(x)$$








\((9)\) 次のガンマ関数の倍数公式を用います。$$Γ(nx)=\frac{n^{nx-\frac{1}{2}}}{(2π)^{\frac{n-1}{2}}}\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} Γ\left(x+\frac{k}{n}\right)$$両辺に \(\log\) を付けます。$$\log Γ(nx)=\left(nx-\frac{1}{2}\right)\log n-\frac{n-1}{2}\log 2π+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\log Γ\left(x+\frac{k}{n}\right)$$両辺を \(x\) で微分します。$$nψ(nx)=n\log n+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} ψ\left(x+\frac{k}{n}\right)$$両辺を \(n\) で割ります。以上より$$ψ(nx)=\log n +\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} ψ\left(x+\frac{k}{n}\right)$$

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