ディガンマ関数[4]

次の式をディガンマ関数の倍数公式と呼びます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  ψ(2x)=\frac{1}{2}ψ(x)+\frac{1}{2}ψ\left(x+\frac{1}{2}\right)+ \log 2\\
&(2)  ψ(3x)=\frac{1}{3}ψ(x)+\frac{1}{3}ψ\left(x+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}ψ\left(x+\frac{2}{3}\right) +\log 3\\
\end{alignat}上記を用いることで、次のディガンマ関数の値が得られます。
\begin{alignat}{2}
&(3)  ψ\left(\frac{1}{4}\right)=-γ-3 \log 2-\frac{π}{2}\\
&(4)  ψ\left(\frac{3}{4}\right)=-γ-3 \log 2+\frac{π}{2}\\
&(5)  ψ\left(\frac{1}{3}\right)=-γ-\frac{3}{2} \log 3-\frac{π}{2\sqrt{3}}\\
&(6)  ψ\left(\frac{2}{3}\right)=-γ-\frac{3}{2} \log 3+\frac{π}{2\sqrt{3}}\\
&(7)  ψ\left(\frac{1}{6}\right)=-γ-\frac{3}{2} \log 3-\frac{\sqrt{3}}{2}π-2 \log 2\\
&(8)  ψ\left(\frac{5}{6}\right)=-γ-\frac{3}{2} \log 3+\frac{\sqrt{3}}{2}π-2 \log 2\\
\end{alignat}








<証明>

\((1)\) 次のガンマ関数の倍数公式を用います。$$Γ(2x)=\frac{2^{2x-1}}{\sqrt{π}}Γ(x)Γ\left(x+\frac{1}{2}\right)$$両辺に \(\log\) を付けます。$$\log Γ(2x)=(2x-1)\log 2-\frac{1}{2}\log π+\log Γ(x)+\log Γ\left(x+\frac{1}{2}\right)$$両辺を \(x\) で微分します。$$2ψ(2x)=2\log 2+ψ(x)+ψ\left(x+\frac{1}{2}\right)$$以上より$$ψ(2x)=\frac{1}{2}ψ(x)+\frac{1}{2}ψ\left(x+\frac{1}{2}\right)+ \log 2$$







\((2)\) 次のガンマ関数の倍数公式を用います。$$Γ(3x)=\frac{3^{3x-\frac{1}{2}}}{2π}Γ(x)Γ\left(x+\frac{1}{3}\right)Γ\left(x+\frac{2}{3}\right)$$両辺に \(\log\) を付けます。$$\log Γ(3x)=\left(3x-\frac{1}{2}\right)\log 3-\log 2π+\log Γ(x)+\log Γ\left(x+\frac{1}{3}\right)+\log Γ\left(x+\frac{2}{3}\right)$$両辺を \(x\) で微分します。$$3ψ(2x)=3\log 3+ψ(x)+ψ\left(x+\frac{1}{2}\right)+ψ\left(x+\frac{2}{3}\right)$$以上より$$ψ(3x)=\frac{1}{3}ψ(x)+\frac{1}{3}ψ\left(x+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}ψ\left(x+\frac{2}{3}\right) +\log 3$$







\((3)(4)\) \((1)\) の式において \(\displaystyle x=\frac{1}{4}\) のとき
\begin{alignat}{2}
&ψ\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}ψ\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}ψ\left(\frac{3}{4}\right)+\log 2\\
&\\
&\frac{1}{2}ψ\left(\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{2}ψ\left(\frac{1}{4}\right)=ψ\left(\frac{1}{2}\right)-\log2\\
\end{alignat}よって$$ψ\left(\frac{3}{4}\right)+ψ\left(\frac{1}{4}\right)=-2γ-6\log 2  \cdots(A)$$また次のディガンマの公式において$$ψ(1-x)-ψ(x)=π\cot πx$$\(\displaystyle x=\frac{1}{4}\) とすると$$ψ\left(\frac{3}{4}\right)-ψ\left(\frac{1}{4}\right)=π  \cdots(B)$$\(\displaystyle \frac{(A)+(B)}{2}, \frac{(A)-(B)}{2}\) を計算すれば、次式を得ます。$$ψ\left(\frac{1}{4}\right)=-γ-3 \log 2-\frac{π}{2},  ψ\left(\frac{3}{4}\right)=-γ-3 \log 2+\frac{π}{2}$$







\((5)(6)\) \((2)\) の式において \(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) のとき
\begin{alignat}{2}
&ψ\left(1\right)=\frac{1}{3}ψ\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}ψ\left(\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}ψ(1)+\log 3\\
&\\
&\frac{1}{3}ψ\left(\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}ψ\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}ψ\left(1\right)-\log3\\
\end{alignat}よって$$ψ\left(\frac{2}{3}\right)+ψ\left(\frac{1}{3}\right)=-2γ-3\log 3  \cdots(A)$$また次のディガンマの公式において$$ψ(1-x)-ψ(x)=π\cot πx$$\(\displaystyle x=\frac{1}{3}\) とすると$$ψ\left(\frac{2}{3}\right)-ψ\left(\frac{1}{3}\right)=π\cot \frac{π}{3}=\frac{π}{\sqrt{3}}  \cdots(B)$$\(\displaystyle \frac{(A)+(B)}{2}, \frac{(A)-(B)}{2}\) を計算すれば、次式を得ます。$$ψ\left(\frac{1}{3}\right)=-γ-\frac{3}{2} \log 3-\frac{π}{2\sqrt{3}},  ψ\left(\frac{2}{3}\right)=-γ-\frac{3}{2} \log 3+\frac{π}{2\sqrt{3}}$$








\((7)\) \((1)\) の式において \(\displaystyle x=\frac{1}{6}\) とします。$$ψ\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}ψ\left(\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{2}ψ\left(\frac{2}{3}\right)+\log 2$$移行して、式を整理します。
\begin{alignat}{2}
&\frac{1}{2}ψ\left(\frac{1}{6}\right)=ψ\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{2}ψ\left(\frac{2}{3}\right)+\log 2\\
&        =-γ-\frac{3}{2}\log 3-\frac{π}{2\sqrt{3}}-\frac{1}{2}\left(-γ-\frac{3}{2}\log 3 +\frac{π}{2\sqrt{3}}\right)-\log 2\\
&        =-\frac{1}{2}γ-\frac{3}{4}\log 3-\frac{3π}{4\sqrt{3}}π- \log 2\\
\end{alignat}以上より$$ψ\left(\frac{1}{6}\right)=-γ-\frac{3}{2}\log 3-\frac{\sqrt{3}}{2}π-2 \log 2$$







\((8)\) 次式に \((7)\) の結果を代入します。
\begin{alignat}{2}
&ψ\left(\frac{5}{6}\right)-ψ\left(\frac{1}{6}\right)=π\cot \frac{π}{6}=\sqrt{3}π\\
&\\
&ψ\left(\frac{5}{6}\right)=ψ\left(\frac{1}{6}\right)+\sqrt{3}π=-γ-\frac{3}{2}\log 3-\frac{\sqrt{3}}{2}π-2 \log 2+\sqrt{3}π\\
&      =-γ-\frac{3}{2}\log 3+\frac{\sqrt{3}}{2}π-2 \log 2\\
\end{alignat}以上より$$ψ\left(\frac{5}{6}\right)=-γ-\frac{3}{2}\log 3+\frac{\sqrt{3}}{2}π-2 \log 2$$

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