ディガンマ関数[6]

次のディガンマ関数の公式(詳細はこちらです)$$ψ(1-z)-ψ(z)=π\cos πz$$の両辺を微分していくことで、次の式を得ます。

\begin{alignat}{2}
&(1) ψ’(1-z)+ψ’(z)=\frac{π^2}{\sin^2 πz}\\
&(2) ψ’’(1-z)-ψ’’(z)=2π^3 \cdot \frac{\cos πz}{\sin^3 πz}\\
&(3) ψ’’’(1-z)+ψ’’’(z)=2π^4 \cdot \frac{3-2\sin^2 πz}{\sin^4 πz}\\
&(4) ψ^{(4)}(1-z)-ψ^{(4)}(z)=8π^5 \cdot \frac{ (3- \sin^2 πz) \cos πz}{\sin^5 πz}
\end{alignat}









<証明>

\((1)\) 改めて、元の等式を書いておきます。$$ψ(1-z)-ψ(z)=π\cos πz$$両辺を \(z\) で微分します。$$-ψ’(1-z)-ψ’(z)=-\frac{π^2}{\sin^2 πz}$$両辺を \(-1\) 倍します。$$ψ’(1-z)+ψ’(z)=\frac{π^2}{\sin^2 πz}$$





\((2)\) \((1)\) の式の両辺を \(z\) で微分します。$$-ψ’’(1-z)+ψ’’(z)=π^2 \cdot (-2)(\sin πz)^{-3} \cdot π\cos πz$$両辺を \(-1\) 倍してまとめます。$$ψ’’(1-z)-ψ’’(z)=2π^3 \cdot \frac{\cos πz}{\sin^3 πz}$$







\((3)\) \((2)\) の式の両辺を \(z\) で微分します。$$-ψ’’’(1-z)-ψ’’’(z)=2π^3 \cdot \frac{d}{dz} \cdot \frac{\cos πz}{\sin^3 πz}$$右辺を計算します。
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dz} \cdot \frac{\cos πz}{\sin^3 πz}&=\frac{-π\sin πz \cdot \sin^3 πz -\cos πz \cdot 3 \sin^2 πz \cdot π \cos πz}{\sin^6 πz}\\
&=\frac{-π \sin^2 πz -3π\cos^2 πz}{\sin^4 πz}\\
&=-π \cdot \frac{\sin^2 πz +3 \cos^2 πz}{\sin^4 πz}\\
&=-π \cdot \frac{3(\sin^2 πz + \cos^2 πz)-2 \sin^2 πz}{\sin^4 πz}\\
&=-π \cdot \frac{3-2 \sin^2 πz}{\sin^4 πz}\\
\end{alignat}以上より$$ψ’’’(1-z)+ψ’’’(z)=2π^4 \cdot \frac{3-2 \sin^2 πz}{\sin^4 πz}$$







\((4)\) \((3)\) の式の両辺を \(z\) で微分します。$$-ψ^{(4)}(1-z)+ψ^{(4)}(z)=2π^4 \cdot \frac{d}{dz} \cdot \frac{3-2 \sin^2 πz}{\sin^4 πz}$$右辺を計算します。
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dz} \cdot \frac{3-2 \sin^2 πz}{\sin^4 πz}&=\frac{d}{dz} \left(\frac{3}{\sin^4 πz}-\frac{2}{\sin^2 πz}\right)\\
&=3\cdot (-4) \cdot \frac{\cos πz}{\sin^5 πz} -2 \cdot (-2) \cdot \frac{π\cos πz}{\sin^3 πz}\\
&=-12π \cdot \frac{\cos πz}{\sin^5 πz}+4π \cdot \frac{\cos πz}{\sin^3 πz}\\
&=-4π \cdot \frac{ (3- \sin^2 πz) \cos πz}{\sin^5 πz}
\end{alignat}以上より$$ψ^{(4)}(1-z)-ψ^{(4)}(z)=8π^5 \cdot \frac{ (3- \sin^2 πz) \cos πz}{\sin^5 πz}$$

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