e^{-ax-(b/x)}[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{-\left(x-\frac{b}{x}\right)^{2n}\right\}dx=\frac{1}{n}Γ\left(\frac{1}{2n}\right)  (b \geq 0)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x-\frac{1}{x}}dx=2 K_1(2)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax-\frac{b}{x}}dx=2\sqrt{\frac{b}{a}} K_1(2\sqrt{ab})  (a,b \gt 0)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx-\frac{v}{4x}}dx=\sqrt{\frac{v}{μ}} K_1(\sqrt{μv})  (μ,v \gt 0)\\
\end{alignat}











<証明>

\((1)\) 被積分関数は偶関数なので積分区間を \([0,∞]\) として \(2\) を掛けます。$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{-\left(x-\frac{b}{x}\right)^{2n}\right\}dx=2\displaystyle\int_0^{\infty} \exp \left\{-\left(x-\frac{b}{x}\right)^{2n}\right\}dx$$積分を \(2\) つに分けます。$$=\displaystyle\int_0^{\infty} \exp \left\{-\left(x-\frac{b}{x}\right)^{2n}\right\}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \exp \left\{-\left(x-\frac{b}{x}\right)^{2n}\right\}dx$$一方の積分について \(\displaystyle x=\frac{b}{t}\) と置きます。\(\left(\displaystyle dx=-\frac{b}{t^2}dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \exp \left\{-\left(x-\frac{b}{x}\right)^{2n}\right\}dx&=\displaystyle\int_{\infty}^0 \exp \left\{-\left(\frac{b}{t}-t\right)^{2n}\right\}\left(-\frac{b}{t^2}\right)dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{b}{t^2}\exp \left\{-\left(t-\frac{b}{t}\right)^{2n}\right\}dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{b}{x^2}\exp \left\{-\left(x-\frac{b}{x}\right)^{2n}\right\}dx\\
\end{alignat}元の積分計算に戻り、代入して足し合わせます。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \exp \left\{-\left(x-\frac{b}{x}\right)^{2n}\right\}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{b}{x^2}\exp \left\{-\left(x-\frac{b}{x}\right)^{2n}\right\}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(1+\frac{b}{x^2}\right)\exp \left\{-\left(x-\frac{b}{x}\right)^{2n}\right\}dx\\
\end{alignat}\(\displaystyle x-\frac{b}{x}=y\) と置きます。\(\displaystyle \left[\left(1+\frac{b}{x^2}\right)dx=dy\right]\)$$=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \exp (-y^{2n})dy=2\displaystyle\int_0^{\infty} \exp (-y^{2n})dy$$\(y^{2n}=r\) と置きます。\((2ny^{2n-1}dy=dr)\)$$=2 \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-r} \cdot \frac{1}{2n r^{\frac{2n-1}{2n}}}dr=\frac{1}{n}\displaystyle\int_0^{\infty} r^{\frac{1}{2n}-1}e^{-r}dr=\frac{1}{n}Γ\left(\frac{1}{2n}\right)$$以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{-\left(x-\frac{b}{x}\right)^{2n}\right\}dx=\frac{1}{n}Γ\left(\frac{1}{2n}\right)  (b \geq 0)$$







\((2)\) 積分区間を \(1\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x-\frac{1}{x}}dx=\displaystyle\int_1^{\infty} e^{-x-\frac{1}{x}}dx+\displaystyle\int_0^1 e^{-x-\frac{1}{x}}dx$$右の積分について \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left(dx=-\frac{1}{t^2}dt\right)\)$$\displaystyle\int_0^1 e^{-x-\frac{1}{x}}dx=\displaystyle\int_{\infty}^1 e^{-\frac{1}{t}-t}\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{t^2}e^{-t-\frac{1}{t}}dt=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}e^{-x-\frac{1}{x}}dx$$元の積分計算に戻り、代入して足し合わせます。$$=\displaystyle\int_1^{\infty} e^{-x-\frac{1}{x}}dx+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}e^{-x-\frac{1}{x}}dx=\displaystyle\int_1^{\infty} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)e^{-x-\frac{1}{x}}dx$$\(x=e^r\) と置きます。\((dx=e^rdr)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(1+\frac{1}{e^{2r}}\right)e^{-e^r-\frac{1}{e^r}}
\cdot e^r dr\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(e^r+e^{-r})}(e^r+e^{-r})dr\\
&=2 \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-2 \cosh r} \cosh rdr=2K_1(2)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x-\frac{1}{x}}dx=2 K_1(2)$$







\((3)\) 積分区間を \(\displaystyle \sqrt{\frac{b}{a}}\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax-\frac{b}{x}}dx=\displaystyle\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{\infty} e^{-ax-\frac{b}{x}}dx+\displaystyle\int_0^{\sqrt{\frac{b}{a}}} e^{-ax-\frac{b}{x}}dx$$右の積分について \(\displaystyle ax=\frac{b}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left(adx=-\frac{b}{t^2}dt\right)\)$$\displaystyle\int_0^{\sqrt{\frac{b}{a}}} e^{-ax-\frac{b}{x}}dx=\displaystyle\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{\infty} e^{-\frac{b}{t}-at}\left(-\frac{b}{at^2}\right)dt=\displaystyle\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{\infty} \frac{b}{at^2}e^{-at-\frac{b}{t}}dt=\displaystyle\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{\infty} \frac{b}{ax^2}e^{-ax-\frac{b}{x}}dx$$元の積分計算に戻り、代入して足し合わせます。$$=\displaystyle\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{\infty} e^{-ax-\frac{b}{x}}dx+\displaystyle\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{\infty} \frac{b}{ax^2}e^{-ax-\frac{b}{x}}dx=\displaystyle\int_{\sqrt{\frac{b}{a}}}^{\infty} \left(1+\frac{b}{ax^2}\right)e^{-ax-\frac{b}{x}}dx$$\(\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}x=e^r\) と置きます。\(\displaystyle \left(\sqrt{\frac{a}{b}}dx=e^rdr\right)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^{\infty} (1+e^{-2r})e^{-\sqrt{ab}e^r-\sqrt{ab}e^{-r}}\sqrt{\frac{b}{a}}e^rdr\\
&=\sqrt{\frac{b}{a}} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\sqrt{ab} (e^r+e^{-r})} (e^r+e^{-r})dr\\
&=2\sqrt{\frac{b}{a}} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-2\sqrt{ab}\cosh r} \cosh rdr=2\sqrt{\frac{b}{a}} K_1(2\sqrt{ab})
\end{alignat} 以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax-\frac{b}{x}}dx=2\sqrt{\frac{b}{a}} K_1(2\sqrt{ab})  (a,b \gt 0)\\$$







\((4)\) \((3)\) の式で \(\displaystyle a=μ,\,b=\frac{v}{4}\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx-\frac{v}{4x}}dx=2\sqrt{\frac{v}{4μ}}K_1\left(2\sqrt{\frac{μv}{4}}\right)=\sqrt{\frac{v}{μ}} K_1(\sqrt{μv})  (μ,v \gt 0)\\$$



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