e^{-ax^2-b^2/x^2}[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\left(ax-\frac{b}{x}\right)^2} dx=\frac{\sqrtπ}{2a}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}} dx=\frac{\sqrtπ}{2a}e^{-2ab}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2} dx=\frac{\sqrtπ}{2a}e^{-4ab}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0,b \gt 0\)






<証明>

\((1)\) 求める定積分を \(I\) とします。$$I=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(ax-\frac{b}{x})^2} dx$$\(\displaystyle \frac{b}{x}=at\) と置きます。\(\displaystyle \left(x=\frac{b}{at}, dx=-\frac{b}{at^2}dt\right)\)$$=\displaystyle\int_{\infty}^0 e^{-\left(\frac{b}{t}-at\right)^2}\left(-\frac{b}{at^2}\right)dt=\frac{b}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{t^2} \cdot e^{-\left(at-\frac{b}{t}\right)^2}dt=\frac{b}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2} \cdot e^{-\left(ax-\frac{b}{x}\right)^2}dx$$元の \(I\) と足し合わせます。
\begin{alignat}{2}
&2I=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(ax-\frac{b}{x})^2} dx+\frac{b}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2} \cdot e^{-\left(ax-\frac{b}{x}\right)^2}dx\\
&  =\displaystyle\int_0^{\infty} \left(1+\frac{b}{a} \cdot \frac{1}{x^2}\right)e^{-(ax-\frac{b}{x})^2} dx
\end{alignat}\(\displaystyle ax-\frac{b}{x}=s\) と置きます。\(\left[\left(a+\frac{b}{x^2}\right)dx=ds\right]\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(ax-\frac{b}{x})^2}\left(a+\frac{b}{x^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{a}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-s^2}ds=\frac{\sqrt{π}}{a},   I=\frac{\sqrt{π}}{2a}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(ax-\frac{b}{x})^2} dx=\frac{\sqrtπ}{2a}$$








\((2)\) \((1)\) の式より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(ax-\frac{b}{x})^2} dx=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\left(a^2x^2-2ab+\frac{b^2}{x^2}\right)} dx=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a^2x^2+2ab-\frac{b^2}{x^2}} dx=\frac{\sqrt{π}}{2a}$$\(e^{2ab}\) を取り出して、両辺を \(e^{2ab}\) で割ります。$$e^{2ab}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}} dx=\frac{\sqrtπ}{2a}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a^2x^2-\frac{b^2}{x^2}} dx=\frac{\sqrtπ}{2a}e^{-2ab}$$








\((3)\) \((2)\) の途中の式を用います。$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a^2x^2+2ab-\frac{b^2}{x^2}} dx=\frac{\sqrt{π}}{2a}$$両辺に \(e^{-4ab}\) を掛けます。$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a^2x^2-2ab-\frac{b^2}{x^2}} dx=\frac{\sqrt{π}}{2a}e^{-4ab}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2} dx=\frac{\sqrtπ}{2a}e^{-4ab}$$

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