e^{-ax^2}sinbx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \sin bxdx=\frac{b}{2a}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!!}\left(-\frac{b^2}{2a}\right)^{n-1}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cos bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}\exp \left(-\frac{b^2}{4a}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0\)










<証明>

全て三角関数を級数で表します。

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \sin bxdx=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(bx)^{2n+1}}{(2n+1)!}\right\}dx\\
&                   =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nb^{2n+1}}{(2n+1)!}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n+1}e^{-ax^2}dx\\
\end{alignat}積分の箇所を計算をします。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n+1}e^{-ax^2}dx=-\frac{1}{2a}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n}(e^{-ax^2})’dx\\
&=-\frac{1}{2a}\left\{\left[x^{2n}e^{-ax^2}\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} 2nx^{2n-1}e^{-ax^2}dx\right\}\\
&=\frac{2n}{2a}\displaystyle\int_0^{\infty}x^{2n-1}e^{-ax^2}dx\\
&\\
&              \cdots\\
&\\
&=\frac{2n(2n-2)(2n-4) \cdots 4 \cdot 2}{(2a)^n}\displaystyle\int_0^{\infty} xe^{-ax^2}dx\\
&=\frac{n!}{a^n}\left(-\frac{1}{2a}\right)\displaystyle\int_0^{\infty}(e^{-ax^2})’dx\\
&=-\frac{n!}{2a^{n+1}}[e^{-ax^2}]_0^{\infty}=\frac{n!}{2a^{n+1}}\\
\end{alignat}元の計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nb^{2n+1}}{(2n+1)!} \cdot \frac{n!}{2a^{n+1}}=\frac{b}{2a}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n!}{(2n+1)!}\cdot \frac{b^{2n}}{a^n}\\
&=\frac{b}{2a}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(2n-1)!} \cdot \frac{b^{2n-2}}{a^{n-1}}=\frac{b}{2a}\displaystyle\int_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(2n-2)!!}{(2n-1)!} \cdot \frac{b^{2(n-1)}}{(2a)^{n-1}}\\
&=\frac{b}{2a}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!!}\left(-\frac{b^2}{2a}\right)^{n-1}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \sin bxdx=\frac{b}{2a}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!!}\left(-\frac{b^2}{2a}\right)^{n-1}$$









\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cos bxdx=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(bx)^{2n}}{(2n)!}\right\}dx\\
&                   =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nb^{2n}}{(2n)!}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n}e^{-ax^2}dx\\
\end{alignat}積分の箇所を計算をします。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n}e^{-ax^2}dx=-\frac{1}{2a}\displaystyle\int_0^{\infty} x^{2n-1}(e^{-ax^2})’dx\\
&=-\frac{1}{2a}\left\{\left[x^{2n-1}e^{-ax^2}\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} (2n-1)x^{2n-2}e^{-ax^2}dx\right\}\\
&=\frac{2n-1}{2a}\displaystyle\int_0^{\infty}x^{2n-2}e^{-ax^2}dx\\
&\\
&              \cdots\\
&\\
&=\frac{(2n-1)(2n-3)(2n-5) \cdots \cdot 3 \cdot 1}{(2a)^n}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}dx\\
&=\frac{(2n-1)!!}{(2a)^n}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}
\end{alignat}元の計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nb^{2n}}{(2n)!} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2a)^n}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!!} \cdot \frac{b^{2n}}{(2a)^n}\\
&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\left(-\frac{b^2}{4a}\right)^n=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}\exp \left(-\frac{b^2}{4a}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cos bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}\exp \left(-\frac{b^2}{4a}\right)$$

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