e^{-ax^2}sinhbx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\sinh bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}Φ\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\cosh bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\sinh^2 bxdx=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{a}}\left(e^{\frac{b^2}{a}}-1\right)\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\cosh^2 bxdx=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{a}}\left(e^{\frac{b^2}{a}}+1\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0\)






<証明>

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\sinh bxdx=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\cdot \frac{e^{bx}-e^{-bx}}{2}dx\\
&                    =\frac{1}{2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2+bx}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2-bx}dx\right)\\
\end{alignat}指数部分を平方完成します。
\begin{alignat}{2}
&-ax^2+bx=-a\left(x^2-\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)+\frac{b^2}{4a}=-a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2}{4a}\\
&-ax^2-bx=-a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)+\frac{b^2}{4a}=-a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2}{4a}\\
\end{alignat}となるので
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2}{4a}}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2}{4a}}dx\right\}\\
&=\frac{1}{2}e^{\frac{b^2}{4a}}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}dx\right\}\\
\end{alignat}\(\displaystyle x-\frac{b}{2a}=t,x+\frac{b}{2a}=s\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}e^{\frac{b^2}{4a}}\left\{\displaystyle\int_{-\frac{b}{2a}}^{\infty} e^{-at^2}dt-\displaystyle\int_{\frac{b}{2a}}^{\infty} e^{-as^2}ds\right\}\\
&=\frac{1}{2}e^{\frac{b^2}{4a}}\displaystyle\int_{-\frac{b}{2a}}^{\frac{b}{2a}} e^{-at^2}dt=e^{\frac{b^2}{4a}}\displaystyle\int_0^{\frac{b}{2a}} e^{-at^2}dt\\
\end{alignat}\(\sqrt{a}t=r\) と置きます。\((\sqrt{a}dt=dr)\)$$=e^{\frac{b^2}{4a}}\displaystyle\int_0^{\frac{b}{2\sqrt{a}}}e^{-r^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{a}}dr=\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot e^{\frac{b^2}{4a}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{π}}\displaystyle\int_0^{\frac{b}{2\sqrt{a}}}e^{-r^2}dr\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}Φ\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\sinh bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}Φ\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)$$






\((2)\) \((1)\) と同様の流れで解いていきます。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\cosh bxdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\cdot \frac{e^{bx}+e^{-bx}}{2}dx\\
&=\frac{1}{2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2+bx}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2-bx}dx\right)\\
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2}{4a}}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b^2}{4a}}dx\right\}\\
&=\frac{1}{2}e^{\frac{b^2}{4a}}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2}dx+\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}dx\right\}\\
&=\frac{1}{2}e^{\frac{b^2}{4a}}\left(\displaystyle\int_{-\frac{b}{2a}}^{\infty} e^{-at^2}dt+\displaystyle\int_{\frac{b}{2a}}^{\infty} e^{-as^2}ds\right)\\
\end{alignat}\(s=-r\) と置きます。\((ds=-dr)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}e^{\frac{b^2}{4a}}\left\{\displaystyle\int_{-\frac{b}{2a}}^{\infty} e^{-at^2}dt+\displaystyle\int_{-\frac{b}{2a}}^{-\infty} e^{-ar^2}(-dr)\right\}\\
&=\frac{1}{2}e^{\frac{b^2}{4a}}\left(\displaystyle\int_{-\frac{b}{2a}}^{\infty} e^{-at^2}dt+\displaystyle\int_{-\infty}^{-\frac{b}{2a}} e^{-ar^2}dr\right)\\
&=\frac{1}{2}e^{\frac{b^2}{4a}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-at^2}dt=\frac{1}{2}e^{\frac{b^2}{4a}} \sqrt{\frac{π}{a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\cosh bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}}$$








\((3)\) 双曲線関数の次数を下げて \((2)\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\sinh^2 bxdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cdot \frac{\cosh 2bx-1}{2}dx\\
&=\frac{1}{2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cosh 2bx dx-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}e^{\frac{b^2}{a}}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}\right)=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{a}}\left(e^{\frac{b^2}{a}}-1\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\sinh^2 bxdx=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{a}}\left(e^{\frac{b^2}{a}}-1\right)$$







\((4)\) 双曲線関数の次数を下げて \((2)\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\cosh^2 bxdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cdot \frac{\cosh 2bx+1}{2}dx\\
&=\frac{1}{2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cosh 2bx dx+\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}dx\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}e^{\frac{b^2}{a}}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}\right)=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{a}}\left(e^{\frac{b^2}{a}}+1\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2}\cosh^2 bxdx=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{π}{a}}\left(e^{\frac{b^2}{a}}+1\right)$$

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