e^{-ax}sinbx/x[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin bx}{x}dx=\tan^{-1}\frac{b}{a}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}\cos bx}{x}dx=∞\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax^2} \sin bx}{x}dx=\frac{π}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0\)











<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cos bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}\exp \left(-\frac{b^2}{4a}\right)$$



\((1)\) 求める定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin bx}{x}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax}\sin bxdx=-\frac{b}{a^2+b^2}$$両辺を \(a\) で積分します。$$I(a)=-\tan^{-1}\frac{a}{b}+C$$\(I(∞)=0\) より$$I(∞)=-\frac{π}{2}+C=0,  C=\frac{π}{2}$$よって$$I(a)=\frac{π}{2}-\tan^{-1}\frac{a}{b}=\tan^{-1}\frac{b}{a}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}\sin bx}{x}dx=\tan^{-1}\frac{b}{a}$$







\((2)\) 求める定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}\cos bx}{x}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax}\cos bxdx=-\frac{a}{a^2+b^2}$$両辺を \(a\) で積分します。$$I(a)=-\frac{1}{2}\log (a^2+b^2)+C$$\(I(∞)=0\) より$$I(∞)=-\frac{1}{2}\displaystyle\lim_{a \to \infty} \log (a^2+b^2)+C=0,  C=\frac{1}{2}\displaystyle\lim_{a \to \infty} \log (a^2+b^2)$$よって$$I(a)=-\frac{1}{2}\log (a^2+b^2)+\frac{1}{2}\displaystyle\lim_{a \to \infty} \log (a^2+b^2)=∞$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}\cos bx}{x}dx=∞$$









\((3)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax^2} \sin px}{x}dx$$\(I(b)\) を求めます。

\(I(p)\) を \(p\) で微分します。\((A)\) の式を用います。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cos pxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}} e^{-\frac{p^2}{4a}}$$両辺を区間 \([0,b]\) において \(p\) で積分します。\(I(0)=0\) を用います。$$\displaystyle\int_0^b I’(p)dp=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}} \displaystyle\int_0^b e^{-\frac{p^2}{4a}}dp$$右辺について \(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{a}}p=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{2\sqrt{a}}dp=dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
[I(p)]_0^b&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}} \displaystyle\int_0^{\frac{b}{2\sqrt{a}}} e^{-t^2} \cdot 2\sqrt{a} dt\\
I(b)-I(0)&=\sqrt{π}\displaystyle\int_0^{\frac{b}{2\sqrt{a}}} e^{-t^2} dt\\
I(b)&=\sqrt{π}\cdot \frac{\sqrt{π}}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)=\frac{π}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax^2} \sin bx}{x}dx=\frac{π}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{b}{2\sqrt{a}}\right)$$

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