e^{-ax}tanhx/x[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax} \sinh bx}{x}dx=\frac{1}{2}\log \frac{a+b}{a-b}\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{e^{-ax} \sinh bx}{x}dx=\frac{1}{2}\left\{\log \frac{a+b}{a-b}+\mathrm{Ei}(b-a)-\mathrm{Ei}(-b-a)\right\}\\
&(3) \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-ax} \cosh bx}{x}dx=-\frac{1}{2}\{\mathrm{Ei}(b-a)+\mathrm{Ei}(-b-a)\}\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}\tanh x}{x}dx=\log \frac{a}{4}+2 \log \frac{Γ\left(\frac{a}{4}\right)}{Γ\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)}
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt b \gt 0\)








<証明>


\((1)\) 求める積分を \(I(a)\) を置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax} \sinh bx}{x}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(a)=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sinh bxdx=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax}\cdot \frac{e^{bx}-e^{-bx}}{2} dx\\
&    =-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \{e^{-(a-b)x}-e^{-(a+b)x}\}dx\\
&    =-\frac{1}{2}\left[-\frac{e^{-(a-b)x}}{a-b}+\frac{e^{-(a+b)x}}{a+b}\right]_0^{\infty}\\
&    =-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}\right)\\
\end{alignat}両辺を \(a\) で積分します。$$I(a)=\frac{1}{2}\log (a+b)-\frac{1}{2}\log (a-b)+C=\frac{1}{2}\log \frac{a+b}{a-b}+C$$\(I(∞)=0\) より \(C=0\) であるから$$I(a)=\frac{1}{2}\log \frac{a+b}{a-b}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax} \sinh bx}{x}dx=\frac{1}{2}\log \frac{a+b}{a-b}$$







\((2)\) 先に積分区間が \([1,∞]\) の定積分を計算します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-ax} \sinh bx}{x}dx=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-ax}}{x}\cdot \frac{e^{bx}-e^{-bx}}{2}dx\\
&                =\frac{1}{2}\displaystyle\int_1^{\infty} \left\{\frac{e^{-(a-b)x}}{x}-\frac{e^{-(a+b)x}}{x}\right\}dx\\
\end{alignat}左の積分は \((a-b)x=t\) 、右の積分は \((a+b)x=s\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_{a-b}^{\infty} e^{-t} \cdot \frac{a-b}{t} \cdot \frac{1}{a-b}dt-\displaystyle\int_{a+b}^{\infty} e^{-s} \cdot \frac{a+b}{s} \cdot \frac{1}{a+b}ds\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left(\displaystyle\int_{a-b}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}dt-\displaystyle\int_{a+b}^{\infty} \frac{e^{-s}}{s}ds\right)\\
&=\frac{1}{2}\left\{-\mathrm{Ei}(b-a)+\mathrm{Ei}(-b-a)\right\}
\end{alignat}この式と \((1)\) の結果を用いると
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^1 \frac{e^{-ax} \sinh bx}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax} \sinh bx}{x}dx-\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-ax} \sinh bx}{x}dx\\
&               =\frac{1}{2}\log \frac{a+b}{a-b}+\frac{1}{2}\left\{\mathrm{Ei}(b-a)-\mathrm{Ei}(-b-a)\right\}\\
&               =\frac{1}{2}\left\{\log \frac{a+b}{a-b}+\mathrm{Ei}(b-a)-\mathrm{Ei}(-b-a)\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{e^{-ax} \sinh bx}{x}dx=\frac{1}{2}\left\{\log \frac{a+b}{a-b}+\mathrm{Ei}(b-a)-\mathrm{Ei}(-b-a)\right\}$$







\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-ax} \cosh bx}{x}dx=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-ax}}{x}\cdot \frac{e^{bx}+e^{-bx}}{2}dx\\
&                    =\frac{1}{2}\displaystyle\int_1^{\infty} \left\{\frac{e^{-(a-b)x}}{x}+\frac{e^{-(a+b)x}}{x}\right\}dx
\end{alignat}左の積分は \((a-b)x=t\) 、右の積分は \((a+b)x=s\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_{a-b}^{\infty} e^{-t} \cdot \frac{a-b}{t} \cdot \frac{1}{a-b}dt+\displaystyle\int_{a+b}^{\infty} e^{-s} \cdot \frac{a+b}{s} \cdot \frac{1}{a+b}ds\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left(\displaystyle\int_{a-b}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}dt+\displaystyle\int_{a+b}^{\infty} \frac{e^{-s}}{s}ds\right)\\
&=\frac{1}{2}\left\{-\mathrm{Ei}(b-a)-\mathrm{Ei}(-b-a)\right\}\\
&=-\frac{1}{2}\{\mathrm{Ei}(b-a)+\mathrm{Ei}(-b-a)\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-ax} \cosh bx}{x}dx=-\frac{1}{2}\{\mathrm{Ei}(b-a)+\mathrm{Ei}(-b-a)\}$$







\((4)\) 求める積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}\tanh x}{x}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \tanh xdx=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cdot \frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}dx$$\(e^{-2x}=t\) と置きます。\((-2e^{-2t}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=-\displaystyle\int_1^0 t^{\frac{a}{2}} \cdot \frac{1-t}{1+t}\left(-\frac{1}{2t}\right)dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a}{2}-1} \cdot \frac{t-1}{t+1}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{a}{2}}}{t+1}dt-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{a}{2}-1}}{t+1}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{(1-t)t^{\frac{a}{2}}}{1-t^2}dt-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{(1-t)t^{\frac{a}{2}-1}}{1-t^2}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{a}{2}}-t^{\frac{a}{2}+1}}{1-t^2}dt-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{a}{2}-1}-t^{\frac{a}{2}}}{1-t^2}dt\\
\end{alignat}\(t^2=s\) と置きます。\((2tdt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{a}{4}}-s^{\frac{a}{4}+\frac{1}{2}}}{1-s}\cdot \frac{1}{2\sqrt{s}}ds-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{a}{4}-\frac{1}{2}}-s^{\frac{a}{4}}}{1-s}\cdot \frac{1}{2\sqrt{s}}ds\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{a}{4}-\frac{1}{2}}-s^{\frac{a}{4}}}{1-s}ds-\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{a}{4}-1}-s^{\frac{a}{4}-\frac{1}{2}}}{1-s}ds\\
&=\frac{1}{4}\left\{ψ\left(\frac{a}{4}+1\right)-ψ\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)\right\}-\frac{1}{4}\left\{ψ\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)-ψ\left(\frac{a}{4}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{4}\left\{ψ\left(\frac{a}{4}\right)+\frac{4}{a}+ψ\left(\frac{a}{4}\right)\right\}-\frac{1}{2}ψ\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{a}+\frac{1}{2}ψ\left(\frac{a}{4}\right)-\frac{1}{2}ψ\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)
\end{alignat}両辺を \(a\) で積分します。$$I(a)=\log a+2 \log Γ\left(\frac{a}{4}\right)-2 \log Γ\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)+C$$次のガンマ関数の近似式$$Γ(x)≒\sqrt{2π}e^{-x}x^{x-\frac{1}{2}}$$を用いて \(I(∞)=0\) より \(C\) を定めます。
\begin{alignat}{2}
&I(a)≒\log a +2 \log \sqrt{2π}e^{-\frac{a}{4}}\left(\frac{a}{4}\right)^{\frac{a}{4}-\frac{1}{2}}-2 \log \sqrt{2π}e^{-\frac{a}{4}-\frac{1}{2}}\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)^{\frac{a}{4}}+C\\
&   =\log a +\log 2π -\frac{a}{2}+\left(\frac{a}{2}-1\right)\log \frac{a}{4}-\log 2π+\frac{a}{2}+1-\frac{a}{2}\log \left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)+C\\
&   =\log a+1-\log \frac{a}{4} +\frac{a}{2}\left\{\log \frac{a}{4}-\log \left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)\right\}+C\\
&   =\log 4+1 -\frac{a}{2}\log \frac{\frac{a}{4}+\frac{1}{2}}{\frac{a}{4}}+C\\
&   =\log 4+1 -\frac{a}{2}\log \left(1+\frac{2}{a}\right)+C\\
&   =\log 4+1 -\log \left(1+\frac{2}{a}\right)^{\frac{a}{2}}+C\\
&\\
&I(∞)=\log 4+1-\log e+C=0,  C=-\log 4
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\log a+2 \log Γ\left(\frac{a}{4}\right)-2 \log Γ\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)-\log 4\\
&   =\log \frac{a}{4}+2 \log \frac{Γ\left(\frac{a}{4}\right)}{Γ\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}\tanh x}{x}dx=\log \frac{a}{4}+2 \log \frac{Γ\left(\frac{a}{4}\right)}{Γ\left(\frac{a}{4}+\frac{1}{2}\right)}$$

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