e^{-μx}/(x+b)^n[a,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^n}dx\\
&=-\frac{(-μ)^{n-1}}{(n-1)!}e^{bμ}\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)+\frac{e^{-aμ}}{(n-1)!}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(k-1)!(-μ)^{n-k-1}}{(a+b)^k}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^n}dx\\
&=-\frac{(-μ)^{n-1}}{(n-1)!}e^{bμ}\mathrm{Ei}(-bμ)+\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(k-1)!(-μ)^{n-k-1}}{b^k}\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \geq 2, a,b,μ \gt 0\)






<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{x+b}dx=-e^{bμ}\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{x+b}dx=-e^{bμ}\mathrm{Ei}(-bμ)\\
\end{alignat}




\((1)\) 次の定積分を \(I(b)\) と置きます。$$I(b)=\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{x+b}dx=-e^{bμ}\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)$$\(\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)\) を \(b\) で微分すると、次のようになります。\begin{alignat}{2}
&\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)=\displaystyle\int_{-\infty}^{-aμ-bμ}\frac{e^x}{x}dx\\
&\frac{d}{db}\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)=-μ\cdot \frac{e^{-aμ-bμ}}{-aμ-bμ}=\frac{e^{-aμ-bμ}}{a+b}\\
\end{alignat}これを用いて \(I(b)\) を \(b\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(b)=-\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^2}dx=-\left\{μe^{bμ}\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)+e^{bμ} \cdot \frac{e^{-aμ-bμ}}{a+b}\right\}\\
&    =-μe^{bμ}\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)+\frac{e^{-aμ}}{a+b}=μI(b)+\frac{e^{-aμ}}{a+b}\\
\end{alignat}さらに \(b\) で微分していきます。
\begin{alignat}{2}
&I’’(b)=μI’(b)-\frac{e^{-aμ}}{(a+b)^2}=μ\left\{μI(b)+\frac{e^{-aμ}}{a+b}\right\}-\frac{e^{-aμ}}{(a+b)^2}\\
&     =μ^2I(b)+\frac{μe^{-aμ}}{a+b}-\frac{e^{-aμ}}{(a+b)^2}\\
&I’’’(b)=μ^2I’(b)-\frac{μe^{-aμ}}{(a+b)^2}+\frac{2! e^{-aμ}}{(a+b)^3}\\
&     =μ^2\left\{μI(b)+\frac{e^{-aμ}}{a+b}\right\}-\frac{μe^{-aμ}}{(a+b)^2}+\frac{2! e^{-aμ}}{(a+b)^3}\\
&     =μ^3I(b)+\frac{μ^2e^{-aμ}}{a+b}-\frac{μe^{-aμ}}{(a+b)^2}+\frac{2! e^{-aμ}}{(a+b)^3}\\
&\\
&            \cdots\\
&\\
&I^{(n-1)}(b)=μ^{n-1}I(b)+e^{-aμ}\left\{\frac{μ^{n-2}}{a+b}-\frac{μ^{n-3}}{(a+b)^2}+\frac{2!μ^{n-4}}{(a+b)^3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-2}(n-3)! \cdot μ}{(a+b)^{n-2}}+\frac{(-1)^{n-1}(n-2)! }{(a+b)^{n-1}}\right\}\\
&       =μ^{n-1}\{-e^{bμ}\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)\}+e^{-aμ}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k (k-1)!μ^{n-k-1}}{(a+b)^k}
\end{alignat}ところで左辺の \(I^{(n-1)}(b)\) については$$I^{(n-1)}(b)=(-1)^{n-1}(n-1)!\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^n}dx$$であるから
\begin{alignat}{2}
(-1)^{n-1}(n-1)!\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^n}dx&=-μ^{n-1}e^{bμ}\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)+e^{-aμ}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k (k-1)!μ^{n-k-1}}{(a+b)^k}\\
\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^n}dx&=-\frac{(-μ)^{n-1}}{(n-1)!}e^{bμ}\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)+\frac{e^{-aμ}}{(n-1)!}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k-n+1}(k-1)!μ^{n-k-1}}{(a+b)^k}\\
\end{alignat}右辺の符号について$$(-1)^{k-n+1}=(-1)^{k-n+1}(-1)^{2n-2k-2}=(-1)^{n-k-1}$$と書けるので、以上より$$\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^n}dx=-\frac{(-μ)^{n-1}}{(n-1)!}e^{bμ}\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)+\frac{e^{-aμ}}{(n-1)!}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(k-1)!(-μ)^{n-k-1}}{(a+b)^k}$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(b)\) と置きます。$$I(b)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{x+b}dx=-e^{bμ}\mathrm{Ei}(-bμ)$$\(\mathrm{Ei}(-bμ)\) を \(b\) で微分すると、次のようになります。\begin{alignat}{2}
&\mathrm{Ei}(-bμ)=\displaystyle\int_{-\infty}^{-bμ}\frac{e^x}{x}dx\\
&\frac{d}{db}\mathrm{Ei}(-bμ)=-μ\cdot \frac{e^{-bμ}}{-bμ}=\frac{e^{-bμ}}{b}\\
\end{alignat}これを用いて \(I(b)\) を \(b\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(b)=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^2}dx=-\left\{μe^{bμ}\mathrm{Ei}(-bμ)+e^{bμ} \cdot \frac{e^{-bμ}}{b}\right\}\\
&    =-μe^{bμ}\mathrm{Ei}(-bμ)+\frac{1}{b}=μI(b)+\frac{1}{b}\\
\end{alignat}さらに \(b\) で微分していきます。
\begin{alignat}{2}
&I’’(b)=μI’(b)-\frac{1}{b^2}=μ\left\{μI(b)+\frac{1}{b}\right\}-\frac{1}{b^2}=μ^2I(b)+\frac{μ}{b}-\frac{1}{b^2}\\
&I’’’(b)=μ^2I’(b)-\frac{μ}{b^2}+\frac{2!}{b^3}=μ^2\left\{μI(b)+\frac{1}{b}\right\}-\frac{μ}{b^2}+\frac{2!}{b^3}=μ^3I(b)+\frac{μ^2}{b}-\frac{μ}{b^2}+\frac{2!}{b^3}\\
&\\
&            \cdots\\
&\\
&I^{(n-1)}(b)=μ^{n-1}I(b)+\frac{μ^{n-2}}{b}-\frac{μ^{n-3}}{b^2}+\frac{2!μ^{n-4}}{b^3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-2}(n-3)! \cdot μ}{b^{n-2}}+\frac{(-1)^{n-1}(n-2)! }{b^{n-1}}\\
&       =μ^{n-1}\{-e^{bμ}\mathrm{Ei}(-bμ)\}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k (k-1)!μ^{n-k-1}}{b^k}
\end{alignat}ところで左辺の \(I^{(n-1)}(b)\) については$$I^{(n-1)}(b)=(-1)^{n-1}(n-1)!\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^n}dx$$であるから
\begin{alignat}{2}
(-1)^{n-1}(n-1)!\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^n}dx&=-μ^{n-1}e^{bμ}\mathrm{Ei}(-bμ)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^k (k-1)!μ^{n-k-1}}{(a+b)^k}\\
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^n}dx&=-\frac{(-μ)^{n-1}}{(n-1)!}e^{bμ}\mathrm{Ei}(-bμ)+\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k-n+1}(k-1)!μ^{n-k-1}}{b^k}\\
\end{alignat}右辺の符号について$$(-1)^{k-n+1}=(-1)^{k-n+1}(-1)^{2n-2k-2}=(-1)^{n-k-1}$$と書けるので、以上より$$\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{(x+b)^n}dx=-\frac{(-μ)^{n-1}}{(n-1)!}e^{bμ}\mathrm{Ei}(-bμ)+\frac{1}{(n-1)!}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(k-1)!(-μ)^{n-k-1}}{b^k}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です