e^{-μx}log(a+x)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log (a+x)dx=\frac{1}{μ}\{\log a-e^{aμ}\mathrm{Ei}(-aμ)\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log (1+ax)dx=-\frac{e^{\frac{μ}{a}}}{μ}\mathrm{Ei}\left(-\frac{μ}{a}\right)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log |x-a|dx=\frac{1}{μ}\{\log a-e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log \left| \frac{a}{x-a}\right|dx=\frac{e^{-aμ}}{μ}\mathrm{Ei}(aμ)
\end{alignat}ただし、全て \(a ,μ \gt 0\)









<証明>

\((1)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log (a+x)dx=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ}\log (a+x)\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{μ} \cdot \frac{1}{a+x}dx\\
&                   =\frac{\log a}{μ}+\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{a+x}dx\\
\end{alignat}\(a+x=t\) と置きます。\((dx=dt)\)$$=\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μ(t-a)}}{t}dt=e^{aμ}\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μt}}{t}dt$$\(-μt=s\) と置きます。\((-μdt=ds)\)$$=e^{aμ}\displaystyle\int_{-aμ}^{-\infty} e^s \left(-\frac{μ}{s}\right)\left(-\frac{1}{μ}\right)ds=-e^{aμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{-aμ}\frac{e^s}{s}ds=-e^{aμ}\mathrm{Ei}(-aμ)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log (a+x)dx=\frac{1}{μ}\{\log a-e^{aμ}\mathrm{Ei}(-aμ)\}$$







\((2)\) 部分積分を行います。$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log (1+ax)dx=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ}\log (1+ax)\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{μ} \cdot \frac{a}{1+ax}dx=\frac{a}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{1+ax}dx$$\(1+ax=t\) と置きます。\((adx=dt)\)$$=\frac{a}{μ}\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{-μ \cdot \frac{t-1}{a}}{t}\cdot \frac{1}{a}dt=\frac{e^{\frac{μ}{a}}}{μ}\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-\frac{μt}{a}}}{t}dt$$\(\displaystyle -\frac{μt}{a}=s\) と置きます。\(\displaystyle\left(-\frac{μ}{a}dt=ds\right)\)$$=\frac{e^{\frac{μ}{a}}}{μ}\displaystyle\int_{-\frac{μ}{a}}^{-\infty} e^s \left(-\frac{μ}{as}\right)\left(-\frac{a}{μ}\right)ds=-\frac{e^{\frac{μ}{a}}}{μ}\displaystyle\int_{-\infty}^{-\frac{μ}{a}}\frac{e^s}{s}ds=-\frac{e^{\frac{μ}{a}}}{μ}\mathrm{Ei}\left(-\frac{μ}{a}\right)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log (1+ax)dx=-\frac{e^{\frac{μ}{a}}}{μ}\mathrm{Ei}\left(-\frac{μ}{a}\right)$$








\((3)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log |x-a|dx=\left[-\frac{e^{-μx}}{μ}\log |x-a|\right]_0^{\infty} +\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{μ} \cdot \frac{1}{x-a}dx\\
&                   =\frac{\log a}{μ}+\frac{1}{μ}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{x-a}dx\\
\end{alignat}右の積分について \(x-a=t\) と置きます。\((dx=dt)\)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{x-a}dx=\displaystyle\int_{-a}^{\infty} \frac{e^{-μ(t+a)}}{t}dt=e^{-aμ}\displaystyle\int_{-a}^{\infty} \frac{e^{-μt}}{t}dt$$\(-μt=s\) と置きます。\((-μdt=ds)\)$$=e^{-aμ}\displaystyle\int_{aμ}^{-\infty} e^s \left(-\frac{μ}{s}\right)\left(-\frac{1}{μ}\right)ds=-e^{-aμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{aμ}\frac{e^s}{s}ds=-e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log |x-a|dx=\frac{1}{μ}\{\log a-e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\}$$







\((4)\) \(\log\) を切り離して \((3)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log \left| \frac{a}{x-a}\right|dx\\
&=\log a\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}dx-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log |x-a|dx\\
&=\log a\left[-\frac{e^{-μx}}{μ}\right]_0^{\infty} -\frac{1}{μ}\{\log a-e^{-aμ}\mathrm{Ei}(aμ)\}\\
&=\frac{\log a}{μ}-\frac{\log a}{μ}+\frac{e^{-aμ}}{μ}\mathrm{E_i}(aμ)=\frac{e^{-aμ}}{μ}\mathrm{Ei}(aμ)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx}\log \left| \frac{a}{x-a}\right|dx=\frac{e^{-aμ}}{μ}\mathrm{Ei}(aμ)$$

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