e^{-μx}/√(1+x)[-1,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-px}dx=\frac{1}{p}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+e^{μx}}dx=\frac{\log 2}{μ}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{1+e^{-x}}dx=β(μ)\\
&(4)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-μx}}{1+e^{-vx}}dx=\frac{π}{v}\csc \frac{μπ}{v}\\
&(5)  \displaystyle\int_0^a \frac{e^{-μx}}{\sqrt{x}}dx=\sqrt{\frac{π}{μ}}Φ(\sqrt{μa})\\
&(6)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{\sqrt{x}}dx=\sqrt{\frac{π}{μ}}\\
&(7)  \displaystyle\int_{-1}^{\infty} \frac{e^{-μx}}{\sqrt{1+x}}dx=e^μ\sqrt{\frac{π}{μ}}\\
\end{alignat}ただし、全て \( a,μ,v \gt 0\)












<証明>

$$(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-px}dx=\left[-\frac{1}{p}e^{-px}\right]_0^{\infty}=\frac{1}{p}$$







\((2)\) \(e^{-μx}=t\) と置きます。\((-μe^{-μx}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+e^{μx}}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{1+e^{-μx}}dx=-\frac{1}{μ}\displaystyle\int_1^0 \frac{1}{1+t}dt\\
&=-\frac{1}{μ}[\log (1+t)]_1^0=\frac{\log 2}{μ}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+e^{μx}}dx=\frac{\log 2}{μ}$$







\((3)\) \(\displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}\) を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{1+e^{-x}}dx&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-μx} \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n e^{-nx}\right\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(μ+n)x}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left[-\frac{e^{-(μ+n)x}}{μ+n}\right]_0^{\infty}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{μ+n}=β(μ)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{1+e^{-x}}dx=β(μ)$$







\((4)\) \(e^{-x}=t\) と置きます。\((-e^{-x}dx=dt)\)$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-μx}}{1+e^{-vx}}dx=\displaystyle\int_{\infty}^0 \frac{t^μ}{1+t^v} \left(-\frac{1}{t}\right)dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{μ-1}}{1+t^v}dt$$\(t^v=r\) と置きます。\((vt^{v-1}dt=dr)\)$$=\displaystyle\int_0^
{\infty} \frac{r^{\frac{μ-1}{v}}}{1+r} \cdot \frac{1}{vr^{\frac{v-1}{v}}}dr=\frac{1}{v} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{r^{\frac{μ}{v}-1}}{1+r}=\frac{π}{v}\csc \frac{μπ}{v}$$以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-μx}}{1+e^{-vx}}dx=\frac{π}{v}\csc \frac{μπ}{v}$$







\((5)\) \(μx=t^2\) と置きます。\((μdx=2tdt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^a \frac{e^{-μx}}{\sqrt{x}}dx=\displaystyle\int_0^{\sqrt{μa}} e^{-t^2} \cdot \frac{\sqrt{μ}}{t} \cdot \frac{2t}{μ}dt=\frac{2}{\sqrt{μ}}\displaystyle\int_0^{\sqrt{μa}} e^{-t^2}dt\\
&         =\frac{2}{\sqrt{μ}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{2}Φ(\sqrt{μa})=\sqrt{\frac{π}{μ}}Φ(\sqrt{μa})\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^a \frac{e^{-μx}}{\sqrt{μ}}dx=\sqrt{\frac{π}{μ}}Φ(\sqrt{μa})$$








\((6)\) \(μx=t^2\) と置きます。\((μdx=2tdt)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{\sqrt{x}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-t^2} \cdot \frac{\sqrt{μ}}{t} \cdot \frac{2t}{μ}dt=\frac{2}{\sqrt{μ}}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-t^2}dt\\
&          =\frac{2}{\sqrt{μ}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{2}=\sqrt{\frac{π}{μ}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{\sqrt{x}}dx=\sqrt{\frac{π}{μ}}$$









\((7)\) \(1+x=t\) と置きます。\((dx=dt)\)$$\displaystyle\int_{-1}^{\infty} \frac{e^{-μx}}{\sqrt{1+x}}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μ(t-1)}}{\sqrt{t}}dt=e^μ \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μt}}{\sqrt{t}}$$\((2)\) の結果を代入します。$$\displaystyle\int_{-1}^{\infty} \frac{e^{-μx}}{\sqrt{1+x}}dx=e^μ\sqrt{\frac{π}{μ}}$$

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