e^{ax}cosmxcosnx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos^2 mxdx=\frac{a^2+2m^2}{a(a^2+4m^2)}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin^2 mxdx=\frac{2m^2}{a(a^2+4m^2)}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos mx \cos nxdx=\frac{a(a^2+m^2+n^2)}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin mx \cos nxdx=\frac{m(a^2+m^2-n^2)}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}\\
&(5) \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin mx \sin nxdx=\frac{2amn}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}\\
\end{alignat}ただし全て \(a \gt 0\)






<証明>

\((1)\) 部分積分です。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos^2 mxdx\\
&=\left[-\frac{1}{a}e^{-ax} \cos^2 mx \right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{a} e^{-ax} \cdot 2 \cos mx (-m \sin mx)dx\\
&=\frac{1}{a}-\frac{m}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax}\cdot 2 \sin mx \cos mx dx\\
&=\frac{1}{a}-\frac{m}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin 2mx dx\\
&=\frac{1}{a}-\frac{m}{a}\left[\frac{e^{-ax}}{a^2+4m^2}(-a \sin 2mx -2m \cos 2mx)\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{1}{a}-\frac{m}{a}\cdot \frac{2m}{a^2+4m^2}=\frac{1}{a}\left(1-\frac{2m^2}{a^2+4m^2}\right)\\
&=\frac{1}{a}\cdot \frac{a^2+4m^2-2m^2}{a^2+4m^2}=\frac{a^2+2m^2}{a(a^2+4m^2)}\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos^2 mxdx=\frac{a^2+2m^2}{a(a^2+4m^2)}$$






\((2)\) 部分積分です。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin^2 mxdx\\
&=\left[-\frac{1}{a}e^{-ax} \sin^2 mx \right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{a} e^{-ax} \cdot 2 \sin mx (m \cos mx)dx\\
&=\frac{m}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax}\cdot 2 \sin mx \cos mx dx\\
&=\frac{m}{a}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin 2mx dx\\
&=\frac{m}{a}\left[\frac{e^{-ax}}{a^2+4m^2}(-a \sin 2mx -2m \cos 2mx)\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{m}{a}\cdot \frac{2m}{a^2+4m^2}=\frac{2m^2}{a(a^2+4m^2)}\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin^2 mxdx=\frac{2m^2}{a(a^2+4m^2)}$$






\((3)\) 積和の公式で積分を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos mx \cos nxdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cdot \frac{1}{2}\{\cos(m+n)x+\cos (m-n)x\}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos(m+n)x dx+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos(m-n)x dx\\
&=\frac{1}{2}\left[\frac{e^{-ax}}{a^2+(m+n)^2}\{(m+n)\sin (m+n)x-a \cos (m+n)x\}\right]_0^{\infty}\\
&     +\frac{1}{2}\left[\frac{e^{-ax}}{a^2+(m-n)^2}\{(m-n)\sin (m-n)x-a \cos (m-n)x\}\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{a^2+(m+n)^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{a^2+(m-n)^2}\\
&=\frac{a}{2}\left\{\frac{1}{a^2+(m+n)^2}+\frac{1}{a^2+(m-n)^2}\right\}\\
&=\frac{a}{2}\cdot \frac{a^2+(m-n)^2+a^2+(m+n)^2}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}\\
&=\frac{a}{2}\cdot \frac{2a^2+2m^2+2n^2}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}\\
&=\frac{a(a^2+m^2+n^2)}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos mx \cos nxdx=\frac{a(a^2+m^2+n^2)}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}$$






\((4)\) 積和の公式で積分を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin mx \cos nxdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cdot \frac{1}{2}\{\sin(m+n)x+\sin (m-n)x\}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin(m+n)x dx+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin(m-n)x dx\\
&=\frac{1}{2}\left[\frac{e^{-ax}}{a^2+(m+n)^2}\{-a \sin (m+n)x-(m+n) \cos (m+n)x\}\right]_0^{\infty}\\
&     +\frac{1}{2}\left[\frac{e^{-ax}}{a^2+(m-n)^2}\{-a\sin (m-n)x-(m-n) \cos (m-n)x\}\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{m+n}{a^2+(m+n)^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{m-n}{a^2+(m-n)^2}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{m+n}{a^2+(m+n)^2}+\frac{m-n}{a^2+(m-n)^2}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{(m+n)\{a^2+(m-n)^2\}+(m-n)\{a^2+(m+n)^2\}}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}\\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{ma^2+na^2+(m^2-n^2)(m-n)+ma^2-na^2+(m^2-n^2)(m+n)}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}\\
&=\frac{1}{2} \cdot \frac{2ma^2+2m^3-2mn^2}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}\\
&=\frac{m(a^2+m^2-n^2)}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin mx \cos nxdx=\frac{m(a^2+m^2-n^2)}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}$$






\((5)\) 積和の公式で積分を切り離します。途中 \((3)\) と同様の計算を行っています。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin mx \sin nxdx\\
&=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cdot \frac{1}{2}\{\cos(m+n)x-\cos (m-n)x\}dx\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos(m+n)x dx+\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \cos(m-n)x dx\\
&=-\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{a^2+(m+n)^2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{a^2+(m-n)^2}\\
&=\frac{a}{2}\left\{\frac{1}{a^2+(m-n)^2}-\frac{1}{a^2+(m+n)^2}\right\}\\
&=\frac{a}{2}\cdot \frac{a^2+(m+n)^2-a^2-(m-n)^2}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}\\
&=\frac{a}{2}\cdot \frac{4mn}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}\\
&=\frac{2amn}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax} \sin mx \sin nxdx=\frac{2amn}{\{a^2+(m+n)^2\}\{a^2+(m-n)^2\}}$$

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