Ei(-x)e^{-ax}sinbx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
‘&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{Ei}(-x)e^{-ax} \sin bxdx\\
&=-\frac{1}{a^2+b^2}\left[\frac{b}{2}\log \{(1+a)^2+b^2\}-a \tan^{-1} \frac{b}{1+a}\right]\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{Ei}(-x)e^{-ax} \cos bxdx\\
&=-\frac{1}{a^2+b^2}\left[\frac{a}{2}\log \{(1+a)^2+b^2\}+b \tan^{-1} \frac{b}{1+a}\right]\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0\)










<証明>

\((1)\) \(t=xs\) と置きます。\((dt=xds)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{Ei}(-x)e^{-ax} \sin bxdx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{-\displaystyle\int_x^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}dt\right\}e^{-ax} \sin bxdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{-\displaystyle\int_x^{\infty} \frac{e^{-xs}}{xs} \cdot xds\right\}e^{-ax} \sin bxdx\\
&=-\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{s}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(s+a)x} \sin bxdx\right\}ds\\
&=-\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{s} \cdot \frac{b}{(s+a)^2+b^2}ds\\
\end{alignat}
被積分関数を部分分数分解します。
\begin{alignat}{2}
\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{(s+a)^2+b^2}&=\frac{b}{s\{(s+a)^2+b^2\}}\\
&\\
A\{(s+a)^2+b^2\}+(Bs+C)s&=b\\
&\\
A(s^2+2as+a^2)+Ab^2+(Bs+C)s&=b\\
&\\
As^2+2Aas+Aa^2+Ab^2+Bs^2+Cs&=b\\
&\\
(A+B)s^2+(2Aa+C)s+A(a^2+b^2)=b\\
\end{alignat}よって$$A+B=0,  2As+C=0,  A(a^2+b^2)=b$$を得るので、これを解くと$$A=\frac{b}{a^2+b^2},  B=-\frac{b}{a^2+b^2},  C=-\frac{2ab}{a^2+b^2}$$元の積分計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{a^2+b^2}\displaystyle\int_1^{\infty} \left\{\frac{b}{s}-\frac{bs+2ab}{(s+a)^2+b^2}\right\}ds\\
&=-\frac{1}{a^2+b^2}\displaystyle\int_1^{\infty} \left\{\frac{b}{s}-\frac{1}{2}\cdot \frac{2(s+a)b}{(s+a)^2+b^2}-\frac{ab}{(s+a)^2+b^2}\right\}ds\\

&=-\frac{1}{a^2+b^2}\left[b \log s-\frac{1}{2}\log \{(s+a)^2+b^2\}-a \tan^{-1} \frac{s+a}{b}\right]_1^{\infty}\\
&=-\frac{1}{a^2+b^2}\left[\frac{b}{2}\log \frac{s^2}{(s+a)^2+b^2}-a \tan^{-1} \frac{s+a}{b}\right]_1^{\infty}\\

&=-\frac{1}{a^2+b^2} \left[\frac{b}{2}\log \{(1+a)^2+b^2\}-a \left(\frac{π}{2}-\tan^{-1}\frac{1+a}{b}\right)\right]\\
&=-\frac{1}{a^2+b^2}\left[\frac{b}{2}\log \{(1+a)^2+b^2\}-a \tan^{-1} \frac{b}{1+a}\right]
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{Ei}(-x)e^{-ax} \sin bxdx=-\frac{1}{a^2+b^2}\left[\frac{b}{2}\log \{(1+a)^2+b^2\}-a \tan^{-1} \frac{b}{1+a}\right]$$







\((2)\) \(t=xs\) と置きます。\((dt=xds)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{Ei}(-x)e^{-ax} \cos bxdx&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{-\displaystyle\int_x^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}dt\right\}e^{-ax} \cos bxdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left\{-\displaystyle\int_x^{\infty} \frac{e^{-xs}}{xs} \cdot xds\right\}e^{-ax} \cos bxdx\\
&=-\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{s}\left\{\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(s+a)x} \cos bxdx\right\}ds\\
&=-\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{s} \cdot \frac{s+a}{(s+a)^2+b^2}ds\\
\end{alignat}
被積分関数を部分分数分解します。
\begin{alignat}{2}
\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{(s+a)^2+b^2}&=\frac{s+a}{s\{(s+a)^2+b^2\}}\\
&\\
A\{(s+a)^2+b^2\}+(Bs+C)s&=s+a\\
&\\
A(s^2+2as+a^2)+Ab^2+(Bs+C)s&=s+a\\
&\\
As^2+2Aas+Aa^2+Ab^2+Bs^2+Cs&=s+a\\
&\\
(A+B)s^2+(2Aa+C)s+A(a^2+b^2)=s+a\\
\end{alignat}よって$$A+B=0,  2As+C=1,  A(a^2+b^2)=a$$を得るので、これを解くと$$A=\frac{a}{a^2+b^2},  B=-\frac{a}{a^2+b^2},  C=-\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$$元の積分計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{a^2+b^2}\displaystyle\int_1^{\infty} \left\{\frac{a}{s}-\frac{as+(a^2-b^2)}{(s+a)^2+b^2}\right\}ds\\
&=-\frac{1}{a^2+b^2}\displaystyle\int_1^{\infty} \left\{\frac{a}{s}-\frac{a}{2}\cdot \frac{2(s+a)}{(s+a)^2+b^2}+\frac{b^2}{(s+a)^2+b^2}\right\}ds\\
&=-\frac{1}{a^2+b^2}\left[a \log s-\frac{a}{2}\log \{(s+a)^2+b^2\}+b \tan^{-1} \frac{s+a}{b}\right]_1^{\infty}\\
&=-\frac{1}{a^2+b^2}\left[\frac{a}{2}\log \frac{s^2}{(s+a)^2+b^2}+b \tan^{-1} \frac{s+a}{b}\right]_1^{\infty}\\
&=-\frac{1}{a^2+b^2} \left[\frac{a}{2}\log \{(1+a)^2+b^2\}+b \left(\frac{π}{2}-\tan^{-1}\frac{1+a}{b}\right)\right]\\
&=-\frac{1}{a^2+b^2}\left[\frac{a}{2}\log \{(1+a)^2+b^2\}+b \tan^{-1} \frac{b}{1+a}\right]
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{Ei}(-x)e^{-ax} \cos bxdx=-\frac{1}{a^2+b^2}\left[\frac{a}{2}\log \{(1+a)^2+b^2\}+b \tan^{-1} \frac{b}{1+a}\right]$$

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