e^{imx}sinnx[0,2π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{2π} e^{imx} \sin nxdx=
\begin{cases}
0   (m=n=0, m≠n)\\
πi  (m=n≠0)\\
\end{cases}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{2π} e^{imx} \cos nxdx=
\begin{cases}
0   (m≠n)\\
π   (m=n≠0)\\
2π  (m=n=0)
\end{cases}
\end{alignat}







<証明>

\((1)\) \((A)\) \(m=n=0\) のとき、明らかに$$\displaystyle\int_0^{2π} e^{imx} \sin nxdx=0$$\(\displaystyle \sin nx=\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}\) を代入して、式を進めます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{2π} e^{imx} \sin nxdx=\displaystyle\int_0^{2π} e^{imx} \cdot \frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i}dx\\
&               =\displaystyle\int_0^{2π} \frac{e^{i(n+m)x}-e^{-i(n-m)x}}{2i}dx\\
\end{alignat}\((B)\) \(m≠n\) のとき
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{2π} \frac{e^{i(n+m)x}-e^{-i(n-m)x}}{2i}dx\\
&=\frac{1}{2i}\left[\frac{e^{i(n+m)x}}{i(n+m)}+\frac{e^{i(n-m)x}}{i(n-m)}\right]_0^{2π}\\
&=-\frac{1}{2}\left\{\frac{e^{2πi(n+m)}}{n+m}+\frac{e^{2πi(n-m)}}{n-m}-\frac{1}{n+m}-\frac{1}{n-m}\right\}=0
\end{alignat}\((C)\) \(m=n≠0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{2π} \frac{e^{i(n+m)x}-e^{-i(n-m)x}}{2i}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{2π} \frac{e^{i \cdot 2nx}-1}{2i}dx=\frac{1}{2i}\left[\frac{e^{i \cdot 2nx}}{i \cdot 2n}-x\right]_0^{2π}\\
&=\frac{1}{2i}\left(\frac{e^{i \cdot 4nπ}}{i \cdot 2n}-2π-\frac{1}{i \cdot 2n}\right)=\frac{1}{2i} \cdot (-2π)=πi
\end{alignat}






\((2)\) \((A)\) \(m=n=0\) のとき、明らかに$$\displaystyle\int_0^{2π} e^{imx} \cos nxdx=\displaystyle\int_0^{2π}dx=[x]_0^{2π}=2π$$\(\displaystyle \cos nx=\frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}\) を代入して、式を進めます。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{2π} e^{imx} \cos nxdx=\displaystyle\int_0^{2π} e^{imx} \cdot \frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2}dx\\
&               =\displaystyle\int_0^{2π} \frac{e^{i(n+m)x}+e^{-i(n-m)x}}{2}dx\\
\end{alignat}\((B)\) \(m≠n\) のとき
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{2π} \frac{e^{i(n+m)x}+e^{-i(n-m)x}}{2}dx\\
&=\frac{1}{2}\left[\frac{e^{i(n+m)x}}{i(n+m)}-\frac{e^{i(n-m)x}}{i(n-m)}\right]_0^{2π}\\
&=\frac{1}{2i}\left\{\frac{e^{2πi(n+m)}}{n+m}-\frac{e^{2πi(n-m)}}{n-m}-\frac{1}{n+m}+\frac{1}{n-m}\right\}=0
\end{alignat}\((C)\) \(m=n≠0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{2π} \frac{e^{i(n+m)x}+e^{-i(n-m)x}}{2}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{2π} \frac{e^{i \cdot 2nx}+1}{2}dx=\frac{1}{2}\left[\frac{e^{i \cdot 2nx}}{i \cdot 2n}+x\right]_0^{2π}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{e^{i \cdot 4nπ}}{i \cdot 2n}+2π-\frac{1}{i \cdot 2n}\right)=\frac{1}{2} \cdot 2π=π\\
\end{alignat}

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