e^{iμx}/(x-a)[-∞,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b-x}dx=e^{-bμ}\mathrm{Ei}(bμ)\\
&(2)  \displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b-x}dx=e^{-bμ}\mathrm{Ei}(μb-μa)\\
&(3)  \displaystyle\int_q^p \frac{e^{-μx}}{x+b}dx=e^{bμ}[\mathrm{Ei}\{-(b+p)μ\}-\mathrm{Ei}\{-(b+q)μ\}]\\
&(4)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-iμx}}{x-a}dx=iπe^{iaμ}\\
\end{alignat}ただし、全て \(μ\gt 0\)









<証明>

\((3)\) では次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \displaystyle\int_0^a \frac{e^{-μx}}{x+b}dx=e^{bμ}\{\mathrm{Ei}(-aμ-bμ)-\mathrm{Ei}(-bμ)\}  (a \gt 0)$$







\((1)\) \(b-x=t\) と置きます。\((dx=-dt)\)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b-x}dx=\displaystyle\int_b^{-\infty} \frac{e^{-μ(b-t)}}{t}(-dt)=e^{-bμ}\displaystyle\int_{-\infty}^b \frac{e^{bμ}}{t}dt$$\(μt=s\) と置きます。\((μdt=ds)\)$$=e^{-bμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{bμ} e^s \cdot \frac{μ}{s} \cdot \frac{1}{μ}ds=e^{-bμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{bμ} \frac{e^s}{s}ds=e^{-bμ}\mathrm{Ei}(bμ)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b-x}dx=e^{-bμ}\mathrm{Ei}(bμ)$$






\((2)\) \(b-x=t\) と置きます。\((dx=-dt)\)$$\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b-x}dx=\displaystyle\int_{b-a}^{-\infty} \frac{e^{-μ(b-t)}}{t}(-dt)=e^{-bμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{b-a} \frac{e^{μt}}{t}dt$$\(μt=s\) と置きます。\((μdt=ds)\)$$=e^{-bμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{μ(b-a)} e^s \cdot \frac{μ}{s} \cdot \frac{1}{μ}ds=e^{-bμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{μ(b-a)} \frac{e^s}{s}ds=e^{-bμ}\mathrm{Ei}(μb-μa)$$以上より$$\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-μx}}{b-x}dx=e^{-bμ}\mathrm{Ei}(μb-μa)$$







\((3)\) 積分を切り離して \((A)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_q^p \frac{e^{-μx}}{x+b}dx=\displaystyle\int_0^p \frac{e^{-μx}}{x+b}dx-\displaystyle\int_0^q \frac{e^{-μx}}{x+b}dx\\
&\\
&           =e^{bμ}\{\mathrm{Ei}(-pμ-bμ)-\mathrm{Ei}(-bμ)\}-e^{bμ}\{\mathrm{Ei}(-qμ-bμ)-\mathrm{Ei}(-bμ)\}\\
&\\
&           =e^{bμ}[\mathrm{Ei}\{-(b+p)μ\}-\mathrm{Ei}\{-(b+q)μ\}]\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_q^p \frac{e^{-μx}}{x+b}dx=e^{bμ}[\mathrm{Ei}\{-(b+p)μ\}-\mathrm{Ei}\{-(b+q)μ\}]$$








\((4)\) \(x-a=t\) と置きます。\((dx=dt)\)$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-iμx}}{x-a}dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iμ(t+a)}}{t}dt=e^{iaμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{iat}}{t}dt$$\(pt=s\) と置きます。\((pdt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&=e^{iaμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{is} \cdot \frac{p}{s} \cdot \frac{1}{p}ds=e^{iaμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{is}}{s}ds\\
&=e^{iaμ}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos s+i \sin s}{s}ds\\
&=e^{iaμ}\left(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos s}{s}ds+i\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin s}{s}ds\right)=iπe^{iaμ}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-iμx}}{x-a}dx=iπe^{iaμ}$$

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