e^{pcosx+qsinx}cos(qcosx-psinx+mx)[0,2π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{2π} e^{p\cos x+q\sin x}\cos(q \cos x-p \sin x+mx )dx=\frac{2π}{m!}(p^2+q^2)^{\frac{m}{2}}\cos \left(m \tan^{-1}\frac{q}{p}\right)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{2π} e^{p\cos x+q\sin x}\sin(q \cos x-p \sin x+mx )dx=\frac{2π}{m!}(p^2+q^2)^{\frac{m}{2}}\sin \left(m \tan^{-1}\frac{q}{p}\right)\\
\end{alignat}













<証明>

次のように求める定積分をそれぞれ \(I,J\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&I=\displaystyle\int_0^{2π} e^{p\cos x+q\sin x}\cos(q \cos x-p \sin x+mx )dx\\
&J=\displaystyle\int_0^{2π} e^{p\cos x+q\sin x}\sin(q \cos x-p \sin x+mx )dx\\
\end{alignat}\(I-iJ\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
&I-iJ=\displaystyle\int_0^{2π} e^{p\cos x+q\sin x}\{\cos(q \cos x-p \sin x+mx)+i\sin(q \cos x-p \sin x+mx )\}dx\\
&     =\displaystyle\int_0^{2π} e^{p\cos x+q\sin x}\cdot e^{-i(q\cos x-p \sin x +mx)}dx\\
&     =\displaystyle\int_0^{2π} e^{p(\cos x+i\sin x)-iq(\cos x+i\sin x)} e^{-imx}dx
\end{alignat}\(e^{-ix}=z\) と置きます。\((izdx=dz)\)$$=\displaystyle\oint_{|z|=1} e^{pz-iqz} \cdot z^{-m} \cdot \frac{1}{iz}dz=\frac{1}{i}\displaystyle\oint_{|z|=1} \frac{e^{(p-iq)z}}{z^{m+1}}dz$$\(\displaystyle f(z)=\frac{e^{(p-iq)z}}{z^{m+1}}\) と置いて \(m+1\) 位の極の留数を計算します。
\begin{alignat}{2}
&\mathrm{Res}(f(z),0)=\frac{1}{m!}\displaystyle\lim_{z \to 0}\left\{\frac{d^m}{dz^m}\cdot z^{m+1} \cdot \frac{e^{(p-iq)z}}{z^{m+1}}\right\} =\frac{1}{m!}\displaystyle\lim_{z \to 0}\left\{\frac{d^m}{dz^m} e^{(p-iq)z}\right\}\\
&          =\frac{1}{m!}\displaystyle\lim_{z \to 0}\,(p-iq)^m e^{(p-iq)z}=\frac{(p-iq)^m}{m!}
\end{alignat}\(p-iq\) を極形式で表します。\(\displaystyle \left(\cos θ=\frac{p}{p^2+q^2}, \sin θ=\frac{q}{p^2+q^2}, \tan^{-1}\frac{q}{p}=θ\right)\)
\begin{alignat}{2}
&p-iq=\sqrt{p^2+q^2}\left(\frac{p}{p^2+q^2}-i \cdot \frac{q}{p^2+q^2}\right)\\
&     =\sqrt{p^2+q^2}(\cos θ-i \sin θ)=\sqrt{p^2+q^2}e^{-iθ}\\
&\\
&(p-iq)^m=(p^2+q^2)^{\frac{m}{2}}e^{-imθ}
\end{alignat}よって、求める定積分の値は
\begin{alignat}{2}
&I-iJ=2πi \cdot \frac{1}{i} \cdot \frac{(p^2+q^2)^{\frac{m}{2}}}{m!}e^{-imθ}\\
&     =\frac{2π}{m!}(p^2+q^2)^{\frac{m}{2}}(\cos mθ-i\sin mθ)\\
&     =\frac{2π}{m!}(p^2+q^2)^{\frac{m}{2}}\left\{\cos \left(m \tan^{-1}\frac{q}{p}\right) -i\sin m\left(m \tan^{-1}\frac{q}{p}\right)\right\}\\
\end{alignat}以上より、実部と虚部を比較すれば
\begin{alignat}{2}
&I=\displaystyle\int_0^{2π} e^{p\cos x+q\sin x}\cos(q \cos x-p \sin x+mx )dx=\frac{2π}{m!}(p^2+q^2)^{\frac{m}{2}}\cos \left(m \tan^{-1}\frac{q}{p}\right)\\
&J=\displaystyle\int_0^{2π} e^{p\cos x+q\sin x}\sin(q \cos x-p \sin x+mx )dx=\frac{2π}{m!}(p^2+q^2)^{\frac{m}{2}}\sin \left(m \tan^{-1}\frac{q}{p}\right)\\
\end{alignat}

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です