e^{psinx}cos(pcosx+mx)[0,2π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{2π} e^{p \sin x} \cos (p \cos x+mx)dx=\frac{2πp^m}{m!}\cos \frac{mπ}{2}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{2π} e^{p \sin x} \sin (p \cos x+mx)dx=\frac{2πp^m}{m!}\sin \frac{mπ}{2}\\
\end{alignat}ただし、全て \(p \gt 0\)









<証明>

\((1)(2)\) 求める定積分を次のように \(I,J\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
&I=\displaystyle\int_0^{2π} e^{p \sin x} \cos (p \cos x+mx)dx\\
&J=\displaystyle\int_0^{2π} e^{p \sin x} \sin (p \cos x+mx)dx\\
\end{alignat}\(I-iJ\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
I-iJ&=\displaystyle\int_0^{2π} e^{p\sin x}\{\cos (p \cos x+mx)-i\sin (p \cos x+mx)\}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{2π} e^{p\sin x}\cdot e^{-i(p \cos x+mx)}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{2π} e^{-ip(\cos x+i \sin x)-imx}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{2π} e^{-ipe^{ix}-imx}dx\\
\end{alignat}\(e^{ix}=z\) と置いて、複素積分に持ち込みます。\((izdx=dz)\)$$=\displaystyle\oint_{|z|=1} e^{-ipz} \cdot z^{-m} \cdot \frac{1}{iz}dz=\frac{1}{i}\displaystyle\oint_{|z|=1} \frac{e^{-ipz}}{z^{m+1}}dz$$\(\displaystyle f(z)=\frac{e^{-ipz}}{z^{m+1}}\) と置いて \(m+1\) 位の極の留数を計算します。
$$\mathrm{Res}(f(z),0)=\frac{1}{m!}\displaystyle\lim_{z \to 0}\left(\frac{d^m}{dz^m}\cdot z^{m+1} \cdot \frac{e^{-ipz}}{z^{m+1}}\right)=\frac{1}{m!}\displaystyle\lim_{z \to 0} (-ip)^m e^{-ipz}=\frac{(-ip)^m}{m!}$$よって
$$I-iJ=\frac{1}{i} \cdot 2πi \cdot \frac{(-ip)^m}{m!} =\frac{2πp^m}{m!}(-i)^m$$ここで \((-i)^m\) については$$-i=\cos \frac{π}{2}-i\sin \frac{π}{2},  (-i)^m=\cos \frac{mπ}{2}-\sin \frac{mπ}{2}$$となるので$$I-iJ=\frac{2πp^m}{m!}\left(\cos \frac{mπ}{2}-\sin \frac{mπ}{2}\right)$$以上より、実部と虚部を比較すれば、次式を得ます。
\begin{alignat}{2}
&I=\displaystyle\int_0^{2π} e^{p \sin x} \cos (p \cos x+mx)dx=\frac{2πp^m}{m!}\cos \frac{mπ}{2}\\
&J=\displaystyle\int_0^{2π} e^{p \sin x} \sin (p \cos x+mx)dx=\frac{2πp^m}{m!}\sin \frac{mπ}{2}\\
\end{alignat}

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