(e^{px}-e^{qx})/x(1-e^{rx})[-∞,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{px}-e^{qx}}{x(1+e^{rx})}dx=\log \left(\tan \frac{pπ}{2r}\cot \frac{qπ}{2r}\right)\\
&(2)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{px}-e^{qx}}{x(1-e^{rx})}dx=\log \left(\sin \frac{pπ}{r}\csc \frac{qπ}{r}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(0 \lt p,q \lt r\)









<証明>

次の定積分における等式を用います。$$e^{px}-e^{qx}=[e^{tx}
]_q^p=\displaystyle\int_q^p (e^{tx})’dt=x\displaystyle\int_q^p e^{tx}dt$$

その後、どちらも \(e^{rx}=t\) を置きます。\((rsdx=ds)\)




\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{px}-e^{qx}}{x(1+e^{rx})}dx&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x(1+e^{rx})}\left(x\displaystyle\int_q^p e^{tx}dt\right)dx\\
&=\displaystyle\int_q^p \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{tx}}{1+e^{rx}}dxdt=\displaystyle\int_q^p \left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{\frac{t}{r}}}{1+s} \cdot \frac{1}{rs}ds\right)dt\\
&=\frac{1}{r}\displaystyle\int_q^p \left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{\frac{t}{r}-1}}{1+s}ds\right)dt\\
&=\frac{1}{r}\displaystyle\int_q^p π\csc \frac{πt}{r}dt=\left[\log \tan \frac{πt}{2r}\right]_q^p \\
&=\log \tan \frac{pπ}{2r}-\log \tan \frac{qπ}{2r}=\log \left(\tan \frac{pπ}{2r}\cot \frac{qπ}{2r}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{px}-e^{qx}}{x(1+e^{rx})}dx=\log \left(\tan \frac{pπ}{2r}\cot \frac{qπ}{2r}\right)$$








\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{px}-e^{qx}}{x(1-e^{rx})}dx&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x(1-e^{rx})}\left(x\displaystyle\int_q^p e^{tx}dt\right)dx\\
&=\displaystyle\int_q^p \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{tx}}{1-e^{rx}}dxdt=\displaystyle\int_q^p \left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{\frac{t}{r}}}{1-s} \cdot \frac{1}{rs}ds\right)dt\\
&=\frac{1}{r}\displaystyle\int_q^p \left(\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{s^{\frac{t}{r}-1}}{1-s}ds\right)dt\\
&=\frac{1}{r}\displaystyle\int_q^p π\cot \frac{πt}{r}dt=\left[\log \sin \frac{πt}{r}\right]_q^p \\
&=\log \sin \frac{pπ}{r}-\log \sin \frac{qπ}{r}=\log \left(\sin \frac{pπ}{r}\csc \frac{qπ}{r}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{px}-e^{qx}}{x(1-e^{rx})}dx=\log \left(\sin \frac{pπ}{r}\csc \frac{qπ}{r}\right)$$

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