erfc(ax)・xcosbx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(ax) \sin bxdx=\frac{1}{b} \left\{1-\exp \left(-\frac{b^2}{4a^2}\right)\right\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(ax) \cos bxdx=\frac{1}{a\sqrt{π}} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!!}\left(-\frac{b^2}{2a^2}\right)^{n-1}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(ax) \cdot x\cos bxdx=\frac{1}{2a^2}\exp \left(-\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{1}{b^2}\left\{1-\exp \left(-\frac{b^2}{4a^2}\right)\right\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b, \gt 0\)















<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \sin bxdx=\frac{b}{2a}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!!}\left(-\frac{b^2}{2a}\right)^{n-1}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cos bxdx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a}}\exp \left(-\frac{b^2}{4a}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0\)



また、被積分関数内の余誤差関数について$$\mathrm{erfc}(ax)=\frac{2}{\sqrt{π}} \displaystyle\int_{ax}^{\infty} e^{-t^2}dt$$両辺を \(x\) で微分します。$$\frac{d}{dx}\mathrm{erfc}(ax)=-\frac{2a}{\sqrt{π}}e^{-a^2x^2}$$これらの式を用いて部分積分を行います。



\((1)\) 部分積分を行い \((B)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(ax) \sin bxdx\\
&=\left[-\frac{1}{b} \cos bx \cdot \mathrm{erfc}(ax)\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{b} \cos bx\left(-\frac{2a}{\sqrt{π}}e^{-a^2x^2}\right)dx\\
&=\frac{1}{b} \cdot \frac{2}{\sqrt{π}} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-t^2}dt-\frac{2a}{b\sqrt{π}}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a^2x^2} \cos bx dx\\
&=\frac{1}{b}-\frac{2a}{b\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{2a}e^{-\frac{b^2}{4a^2}}=\frac{1}{b}\left(1-e^{-\frac{b^2}{4a^2}}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(ax) \sin bxdx=\frac{1}{b} \left\{1-\exp \left(-\frac{b^2}{4a^2}\right)\right\}$$







\((2)\) 部分積分を行い \((B)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(ax) \cos bxdx\\
&=\left[-\frac{1}{b} \sin bx \cdot \mathrm{erfc}(ax)\right]_0^{\infty}-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{b} \sin bx\left(-\frac{2a}{\sqrt{π}}e^{-a^2x^2}\right)dx\\
&=\frac{2a}{b\sqrt{π}}\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-a^2x^2} \sin bx dx\\
&=\frac{2a}{b\sqrt{π}} \cdot\frac{b}{2a^2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!!}\left(-\frac{b^2}{2a^2}\right)^{n-1}\\
&=\frac{1}{a\sqrt{π}} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!!}\left(-\frac{b^2}{2a^2}\right)^{n-1}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(ax) \cos bxdx=\frac{1}{a\sqrt{π}} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)!!}\left(-\frac{b^2}{2a^2}\right)^{n-1}$$







\((3)\) \((1)\) の式の両辺を \(b\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(ax) \cdot x\cos bxdx&=\frac{d}{db} \cdot \frac{1-e^{-\frac{b^2}{4a^2}}}{b}\\
&=\frac{1}{b^2}\left\{\frac{b}{2a^2}e^{-\frac{b^2}{4a^2}} \cdot b-\left(1-e^{-\frac{b^2}{4a^2}}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{2a^2}e^{-\frac{b^2}{4a^2}}-\frac{1}{b^2}\left(1-e^{-\frac{b^2}{4a^2}}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(ax) \cdot x\cos bxdx=\frac{1}{2a^2}\exp \left(-\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{1}{b^2}\left\{1-\exp \left(-\frac{b^2}{4a^2}\right)\right\}$$

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