erfc(√ax)sinbx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(\sqrt{ax}) \sin bxdx=\frac{1}{b}-\left(\frac{\frac{a}{2}}{a^2+b^2}\right)^{\frac{1}{2}}\{(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}-a\}^{-\frac{1}{2}}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(\sqrt{ax}) \cos bxdx=\left(\frac{\frac{a}{2}}{a^2+b^2}\right)^{\frac{1}{2}}\{(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}+a\}^{-\frac{1}{2}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)














<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \cos bx^2dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}} \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{a^2+b^2}}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-ax^2} \sin bx^2dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}} \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{a^2+b^2}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)




被積分関数内の余誤差関数について$$\mathrm{erfc}(\sqrt{ax})=\frac{2}{\sqrt{π}} \displaystyle\int_{\sqrt{ax}}^{\infty} e^{-t^2}dt$$両辺を \(x\) で微分します。$$\frac{d}{dx}\mathrm{erfc}(\sqrt{ax})=\frac{2}{\sqrt{π}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a}{x}}\right)e^{-ax}=-\sqrt{\frac{a}{πx}} e^{-ax}$$この式を用いて \((1)(2)\) のどちらも部分積分を行います。


\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(\sqrt{ax}) \sin bxdx\\
&=\left[-\frac{1}{b} \cos bx \cdot \mathrm{erfc}(\sqrt{ax})\right]+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{b} \cos bx \left(-\sqrt{\frac{a}{πx}} e^{-ax}\right)dx\\
&=\frac{1}{b} \cdot \frac{2}{\sqrt{π}} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-t^2} dt-\frac{1}{b}\sqrt{\frac{a}{π}} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax} \cos bx}{\sqrt{x}}dx\\
&=\frac{1}{b}-\frac{1}{b}\sqrt{\frac{a}{π}} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax} \cos bx}{\sqrt{x}}dx\\
\end{alignat}\(x=t^2\) と置きます。\((dx=2tdt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{b} -\frac{1}{b}\sqrt{\frac{a}{π}} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-at^2} \cos bt^2}{t} \cdot 2tdt\\
&=\frac{1}{b} -\frac{2}{b}\sqrt{\frac{a}{π}} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-at^2} \cos bt^2dt\\
&=\frac{1}{b} -\frac{2}{b}\sqrt{\frac{a}{π}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}} \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{a^2+b^2}}\\
&=\frac{1}{b} -\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \sqrt{\frac{a^2+b^2-a^2}{\sqrt{a^2+b^2}-a}}\\
&=\frac{1}{b} -\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}-a}\\
&=\frac{1}{b}-\left(\frac{\frac{a}{2}}{a^2+b^2}\right)^{\frac{1}{2}}\{(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}-a\}^{-\frac{1}{2}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(\sqrt{ax}) \sin bxdx=\frac{1}{b}-\left(\frac{\frac{a}{2}}{a^2+b^2}\right)^{\frac{1}{2}}\{(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}-a\}^{-\frac{1}{2}}$$










\begin{alignat}{2}
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(\sqrt{ax}) \cos bxdx\\
&=\left[\frac{1}{b} \sin bx \cdot \mathrm{erfc}(\sqrt{ax})\right]-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{b} \sin bx \left(-\sqrt{\frac{a}{πx}} e^{-ax}\right)dx\\
&=\frac{1}{b}\sqrt{\frac{a}{π}} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax} \sin bx}{\sqrt{x}}dx\\
\end{alignat}\(x=t^2\) と置きます。\((dx=2tdt)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{b}\sqrt{\frac{a}{π}} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-at^2} \sin bt^2}{t} \cdot 2tdt\\
&=\frac{2}{b}\sqrt{\frac{a}{π}} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-at^2} \sin bt^2dt\\
&=\frac{2}{b}\sqrt{\frac{a}{π}} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}} \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{a^2+b^2}}\\
&=\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \sqrt{\frac{a^2+b^2-a^2}{\sqrt{a^2+b^2}+a}}\\
&=\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \cdot \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}+a}\\
&=\left(\frac{\frac{a}{2}}{a^2+b^2}\right)^{\frac{1}{2}}\{(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}+a\}^{-\frac{1}{2}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \mathrm{erfc}(\sqrt{ax}) \cos bxdx=\left(\frac{\frac{a}{2}}{a^2+b^2}\right)^{\frac{1}{2}}\{(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}+a\}^{-\frac{1}{2}}$$




コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です