エルミートの微分方程式

「エルミートの微分方程式」は次式で表されます。$$y’’-2xy’+2ny=0  (n \in \mathrm{N})$$
次のエルミート多項式$$H_n(x)=n!\displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^k}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}$$を用いて \(u_{2m}(x),\,v_{2m+1}(x)\) を次式で置きます。
\begin{cases}
\displaystyle u_{2m}(x)=(-1)^m \cdot \frac{1}{2^m (2m-1)!!}H_{2m}(x)\\
\displaystyle v_{2m+1}(x)=(-1)^m \cdot \frac{1}{2^m (2m+1)!!}H_{2m+1}(x)\\
\end{cases}このとき、エルミートの微分方程式の解は

\((A)\) \(n=2m\) のとき  \(y=C_1H_{2m}(x)+C_2v_{2m}(x)\)

\((B)\) \(n=2m+1\) のとき  \(y=C_1u_{2m+1}(x)+C_2H_{2m+1}(x)\)

となります。(このとき \(u_{2m+1}(x),\,v_{2m}(x)\) は無限級数です。)














<証明>

微分方程式を満たす解が級数で表されるものとして解きます。すなわち$$y=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k,  y’=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k-1},  y’’=\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_kx^{k-2}$$を微分方程式に代入して、\(a_k\) を定めます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_kx^{k-2}-2x\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k-1}+2n\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k&=0\\
\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}-2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k}+2n\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k&=0\\
2a_2+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} (k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}-2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k}+2na_0+2n\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_kx^k&=0\\
2a_2+2na_0+\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \{(k+2)(k+1)a_{k+2}-2ka_k+2na_k\}x^k&=0\\
\end{alignat}両辺を恒等的に見ることで、次式を得ます。
\begin{cases}
2a_2+2na_0=0  &\cdots (A)\\
(k+2)(k+1)a_{k+2}-2(n-k)a_k=0  &\cdots (B)\\
\end{cases}\((B)\) の式より、次の漸化式を得ます。$$a_{k+2}=-\frac{2(n-k)}{(k+2)(k+1)}a_k$$\(k=0\) のとき$$a_2=-\frac{2n}{2}a_0,  2a_2+2na_0=0$$となって \((A)\) の式と一致します。

得られた漸化式は \(1\) つ飛ばしであるので、偶奇に分けて \(a_k\) を調べます。


\((α)\) \(k\) が偶数のとき

\(k=2\) のとき$$a_4=-\frac{2(n-2)}{4 \cdot 3}a_2=\frac{2(n-2)}{4 \cdot 3} \cdot \frac{2n}{2}a_0=\frac{2^2 n(n-2)}{4!}a_0$$\(k=4\) のとき
\begin{alignat}{2}
a_6&=-\frac{2(n-4)}{6 \cdot 5}a_4=-\frac{2(n-4)}{6 \cdot 5} \cdot \frac{2^2 n(n-2)}{4!}a_0\\
&=-\frac{2^3n(n-2)(n-4)}{6!}a_0\\
\end{alignat}\(k=6\) のとき
\begin{alignat}{2}
a_8&=-\frac{2(n-6)}{8 \cdot 7}a_4=\frac{2(n-6)}{8 \cdot 7} \cdot \frac{2^3 n(n-2)(n-4)}{6!}a_0\\
&=\frac{2^4n(n-2)(n-4)(n-6)}{8!}a_0\\
&\\
&               \cdots \\
\end{alignat}


\((β)\) \(k\) が奇数のとき

\(k=1\) のとき$$a_3=-\frac{2(n-1)}{3 \cdot 2}a_1=-\frac{2(n-1)}{3!}a_1$$\(k=3\) のとき$$a_5=-\frac{2(n-3)}{5 \cdot 4}a_3=\frac{2(n-3)}{5 \cdot 4} \cdot \frac{2(n-1)}{3!}a_0=\frac{2^2(n-1)(n-3)}{5!}a_1$$\(k=6\) のとき
\begin{alignat}{2}
a_7&=-\frac{2(n-5)}{7 \cdot 6}a_5=-\frac{2(n-5)}{7 \cdot 6} \cdot \frac{2^2 (n-1)(n-3)}{5!}a_1\\
&=-\frac{2^3(n-1)(n-3)(n-5)}{7!}a_1\\
&\\
&               \cdots \\
\end{alignat}

よって、解は次のように書けます。
\begin{alignat}{2}
y&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k=(a_0+a_2x^2+a_4x^4+ \cdots )+(a_1x+a_3x^3+a_5x^5+ \cdots) \\
&=a_0 \left\{1-\frac{2n}{2!}x^2+\frac{2^2n(n-2)}{4!}x^4-\frac{2^3n(n-2)(n-4)}{6!}x^6+ \cdots \right\}\\
&     +a_1\left\{x-\frac{2(n-1)}{3!}x^3+\frac{2^2(n-1)(n-3)}{5!}x^5-\frac{2^3(n-1)(n-3)(n-5)}{7!}x^7+ \cdots\right\}
\end{alignat}ここで次のように \(u_n(x),\,v_n(x)\) を定めれば
\begin{alignat}{2}
&u_n(x)=1-\frac{2n}{2!}x^2+\frac{2^2n(n-2)}{4!}x^4-\frac{2^3n(n-2)(n-4)}{6!}x^6+ \cdots\\
&v_n(x)=x-\frac{2(n-1)}{3!}x^3+\frac{2^2(n-1)(n-3)}{5!}x^5-\frac{2^3(n-1)(n-3)(n-5)}{7!}x^7+ \cdots\\
\end{alignat}微分方程式の解は次式となります。$$y=a_0u_n(x)+a_1v_n(x)$$




ここで \(n\) が偶数や奇数のときを考えます。

\(n\) が偶数のとき、すなわち \(n=2m\) のとき \(u_{2m}(x)\) は有限級数であり(\(v_{2m}(x)\) は無限級数)$$u_{2m}(x)=1-\frac{2 \cdot 2m}{2!}x^2+\frac{2^2 \cdot 2m(2m-2)}{4!}x^4-\frac{2^3 \cdot 2m(2m-2)(2m-4)}{6!}x^6+\cdots +(-1)^m \cdot \frac{2^m \cdot 2m(2m-2) \cdots 4 \cdot 2}{(2m)!}x^{2m}$$上記のような \(m+1\) 項の多項式であることが分かります。


\(n\) が奇数のとき、すなわち \(n=2m+1\) のとき \(v_{2m+1}(x)\) が有限級数であり(\(u_{2m+1}(x)\) は無限級数)$$v_{2m+1}(x)=x-\frac{2 \cdot 2m}{3!}x^3+\frac{2^2 \cdot 2m(2m-2) }{5!}x^5 -\frac{2^3 \cdot 2m(2m-2)(2m-4) }{7!}x^7+ \cdots +(-1)^m \cdot \frac{2^m \cdot 2m(2m-2) \cdots 4 \cdot 2 }{(2m+1)!}x^{2m+1}$$同様に、上記のような \(m+1\) 項の多項式であることが分かります。





ところで、エルミート多項式は次式で表されます。$$H_n(x)=n!\displaystyle\sum_{n=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^k}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}$$上記のエルミート多項式において \(n=2m\) のとき$$H_{2m}(x)=(2m)!\displaystyle\sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k}{k!(2m-2k)!}(2x)^{2m-2k}$$
上記のエルミート多項式において \(n=2m+1\) のとき$$H_{2m+1}(x)=(2m+1)!\displaystyle\sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k}{k!(2m+1-2k)!}(2x)^{2m+1-2k}$$

これらを踏まえて \(u_{2m}(x)\) と \(v_{2m+1}(x)\) を変形します。

\((γ)\) 多項式を逆から並べなおします。$$u_{2m}(x)=(-1)^m \cdot \frac{2^m \cdot 2m(2m-2) \cdots 4 \cdot 2}{(2m)!}x^{2m}+ \cdots -\frac{2^3 \cdot 2m(2m-2)(2m-4)}{6!}x^6+\frac{2^2 \cdot 2m(2m-2)}{4!}x^4-\frac{2 \cdot 2m}{2!}x^2+1 $$\(\displaystyle (-1)^m \cdot \frac{1}{2^m(2m-1)!!} \cdot (2m)!\) で括ります。
\begin{alignat}{2}
u_{2m}(x)&=(-1)^m \cdot \frac{1}{2^m(2m-1)!!} \cdot (2m)! \bigg\{\frac{1}{0!(2m)!}(2x)^{2m}-\frac{1}{1!(2m-2)!}(2x)^{2m-2}+ \cdots \\
&         +(-1)^{m-2} \cdot \frac{1}{(m-3)!4!}(2x)^4+(-1)^{m-1} \cdot \frac{1}{(m-1)!2!}(2x)^2+(-1)^m \cdot \frac{1}{m!0!}(2x)^0\bigg\}\\
\end{alignat}中括弧内の式をシグマで表します。
\begin{alignat}{2}
&=(-1)^m \cdot \frac{1}{2^m(2m-1)!!} \cdot (2m)!\displaystyle\sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k}{k!(2m-2k)!}(2x)^{2m-2k}\\
&=(-1)^m \cdot \frac{1}{2^m(2m-1)!!}H_{2m}(x)\\
\end{alignat}



\((δ)\) 多項式を逆から並べなおします。$$v_{2m+1}(x)=(-1)^m \cdot \frac{2^m \cdot 2m(2m-2) \cdots 4 \cdot 2}{(2m+1)!}x^{2m+1}+ \cdots -\frac{2^3 \cdot 2m(2m-2)(2m-4)}{7!}x^7+\frac{2^2 \cdot 2m(2m-2)}{5!}x^5-\frac{2 \cdot 2m}{3!}x^3+x $$\(\displaystyle (-1)^m \cdot \frac{1}{2^{m+1}(2m+1)!!} \cdot (2m+1)!\) で括ります。
\begin{alignat}{2}
v_{2m+1}(x)&=(-1)^m \cdot \frac{1}{2^{m+1}(2m+1)!!} \cdot (2m+1)! \bigg\{\frac{1}{0!(2m+1)!}(2x)^{2m+1}-\frac{1}{1!(2m-1)!}(2x)^{2m-1}+ \cdots \\
&         +(-1)^{m-2} \cdot \frac{1}{(m-2)!5!}(2x)^5+(-1)^{m-1} \cdot \frac{1}{(m-1)!3!}(2x)^3+(-1)^m \cdot \frac{1}{m!1!}(2x)^1\bigg\}\\
\end{alignat}中括弧内の式をシグマで表します。
\begin{alignat}{2}
&=(-1)^m \cdot \frac{1}{2^{m+1}(2m+1)!!} \cdot (2m+1)!\displaystyle\sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k}{k!(2m+1-2k)!}(2x)^{2m+1-2k}\\
&=(-1)^m \cdot \frac{1}{2^{m+1}(2m+1)!!}H_{2m+1}(x)\\
\end{alignat}


よって \(u_{2m}(x)\) と \(v_{2m+1}(x)\) は、

次のように「エルミート多項式」を用いて書くこと出来ます。
\begin{cases}
\displaystyle u_{2m}(x)=(-1)^m \cdot \frac{1}{2^m(2m-1)!!}H_{2m}(x)\\
\displaystyle v_{2m+1}(x)=(-1)^m \cdot \frac{1}{2^{m+1}(2m+1)!!}H_{2m+1}(x)\\
\end{cases}



以上を踏まえて、得られた微分方程式の解$$y=a_1u_n(x)+a_2v_n(x)$$について、定数は新たに \(C_1,\,C_2\) と置いて、全ての係数を受け持つことにすれば

\((A)\) \(n=2m\) のときは
\begin{alignat}{2}
y&=a_0u_{2m}(x)+a_1v_{2m}(x)\\
&=a_0 \cdot (-1)^m \cdot \frac{1}{2^m(2m-1)!!}H_{2m}(x)+a_1v_{2m}(x)\\
&=C_1H_{2m}(x)+C_2v_{2m}(x)\\
\end{alignat}

\((B)\) \(n=2m+1\) のときは
\begin{alignat}{2}
y&=a_0u_{2m+1}(x)+a_1v_{2m+1}(x)\\
&=a_0 u_{2m+1}(x)+a_1 \cdot (-1)^m \cdot \frac{1}{2^{m+1}(2m+1)!!}H_{2m+1}(x)\\
&=C_1u_{2m+1}(x)+C_2H_{2m+1}(x)\\
\end{alignat}



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