エルミート多項式[5]

エルミート多項式について、次の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  H_{2n}(x)=(-1)^n \frac{(2n)!}{n!}{}_1F_1\left(-n,\frac{1}{2};x^2\right)\\
&(2)  H_{2n+1}(x)=(-1)^n \frac{(2n+1)!}{n!} \cdot 2x \cdot {}_1F_1\left(-n,\frac{3}{2};x^2\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)















<証明>

エルミート多項式は次式で表されます。$$H_n(x)=n!\displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^k}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}$$
\(n\) を \(2n\) としたとき$$H_{2n}(x)=(2n)!\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!(2n-2k)!}(2x)^{2n-2k}$$
\(n\) を \(2n+1\) としたとき$$H_{2n+1}(x)=(2n+1)!\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!(2n-2k+1)!}(2x)^{2n-2k+1}$$となるので、\((1)(2)\) のどちらも右辺の超幾何級数を変形して、

上記の式に一致することを示します。





\begin{alignat}{2}
&(1)  (-1)^n \frac{(2n)!}{n!}{}_1F_1\left(-n,\frac{1}{2};x^2\right)\\
&=(-1)^n \frac{(2n)!}{n!} \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-n)_k}{\left(\frac{1}{2}\right)_k} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}\\
&=(-1)^n \frac{(2n)!}{n!} \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{-n(-n+1)(-n+2) \cdots (-n+k-1)}{\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}+1\right) \cdots \left(\frac{1}{2}+k-1\right)} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}\\
\end{alignat}分子と分母に \(2^k\) を掛けます。分子の \(k\) 個の積から \(-1\) を括り出します。$$=(-1)^n \frac{(2n)!}{n!} \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k(-1)^k \cdot n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3)(2k-1)} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}$$シグマの終点は \(∞\) ですが、分子の \(n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)\) より

項が存在するのは \(k=n\) までだから (\(k=n+1\) 以降は \(0\) になる)$$=(-1)^n \frac{(2n)!}{n!} \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{2^k(-1)^k \cdot n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3)(2k-1)} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}$$
分子と分母に \((n-k)!\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
&=(-1)^n \frac{(2n)!}{n!} \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{2^k(-1)^k \cdot n!}{(2k-1)!!(n-k)!} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}\\
&=(-1)^n (2n)! \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{2^k(-1)^k}{(2k-1)!!(n-k)!} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}\\
\end{alignat}\(k\) に \(n-k\) を代入します。(シグマの多項式を後ろから並べ直す)$$=(-1)^n (2n)! \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k}\cdot 2^{n-k}}{(2n-2k-1)!!k!} \cdot \frac{x^{2n-2k}}{(n-k)!}$$分子と分母に \(2^{n-k}\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
&= (2n)! \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k}2^{2n-2k}}{k!(2n-2k-1)!! \cdot 2^{n-k}(n-k)!} \cdot x^{2n-2k}\\
&=(2n)! \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k}}{k!(2n-2k-1)!! (2n-2k)!!} \cdot (2x)^{2n-2k}\\
&=(2n)!\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!(2n-2k)!}(2x)^{2n-2k}=H_{2n}(x)\\
\end{alignat}以上より$$H_{2n}(x)=(-1)^n \frac{(2n)!}{n!}{}_1F_1\left(-n,\frac{1}{2};x^2\right)$$








\begin{alignat}{2}
&(2)  (-1)^n \frac{(2n+1)!}{n!} \cdot 2x \cdot {}_1F_1\left(-n,\frac{1}{3};x^2\right)\\
&=(-1)^n \frac{(2n+1)!}{n!} \cdot 2x\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-n)_k}{\left(\frac{3}{2}\right)_k} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}\\
&=(-1)^n \frac{(2n+1)!}{n!} \cdot 2x\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{-n(-n+1)(-n+2) \cdots (-n+k-1)}{\frac{3}{2} \left(\frac{3}{2}+1\right) \cdots \left(\frac{3}{2}+k-1\right)} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}\\
\end{alignat}分子と分母に \(2^k\) を掛けます。分子の \(k\) 個の積から \(-1\) を括り出します。$$=(-1)^n \frac{(2n+1)!}{n!} \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k(-1)^k \cdot n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2k-1)(2k+1)} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}$$シグマの終点は \(∞\) ですが、分子の \(n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)\) より

項が存在するのは \(k=n\) までだから (\(k=n+1\) 以降は \(0\) になる)$$=(-1)^n \frac{(2n+1)!}{n!} \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{2^k(-1)^k \cdot n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdots (2k-1)(2k+1)} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}$$
分子と分母に \((n-k)!\) を掛けます。
\begin{alignat}{2}
&=(-1)^n \frac{(2n+1)!}{n!} \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{2^k(-1)^k \cdot n!}{(2k+1)!!(n-k)!} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}\\
&=(-1)^n (2n+1)! \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{2^k(-1)^k}{(2k+1)!!(n-k)!} \cdot \frac{x^{2k}}{k!}\\
\end{alignat}\(k\) に \(n-k\) を代入します。(シグマの多項式を後ろから並べ直す)$$=(-1)^n (2n+1)! \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{n-k}\cdot 2^{n-k}}{(2n-2k+1)!!k!} \cdot \frac{x^{2n-2k}}{(n-k)!}$$分子と分母に \(2^{n-k}\) を掛けます。シグマの前の \(2x\) はシグマ内の式に掛けます。
\begin{alignat}{2}
&= (2n+1)! \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k}2^{2n-2k+1}}{k!(2n-2k+1)!! \cdot 2^{n-k}(n-k)!} \cdot x^{2n-2k+1}\\
&=(2n+1)! \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k}}{k!(2n-2k+1)!! (2n-2k)!!} \cdot (2x)^{2n-2k+1}\\
&=(2n+1)!\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!(2n-2k+1)!}(2x)^{2n-2k+1}=H_{2n+1}(x)\\
\end{alignat}以上より$$H_{2n+1}(x)=(-1)^n \frac{(2n+1)!}{n!} \cdot 2x \cdot {}_1F_1\left(-n,\frac{3}{2};x^2\right)$$

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