エルミート多項式[4]

エルミート多項式について、次式が成り立ちます。

\((1)\) 直交性$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=\sqrt{π} \cdot 2^nn! δ_{mn}$$

\((2)\) 級数展開$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{π}}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{H_k(x)}{2^kk!}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)H_k(x)e^{-x^2}dx$$$$\left[f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} C_kH_k(x),\,\,C_k=\frac{1}{\sqrt{π}\cdot 2^kk!} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)H_k(x)e^{-x^2}dx\right]$$












<証明>

次のエルミート多項式の母関数の式を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  e^{2tx-t^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}$$


\((1)\) \((A)\) の式で、文字を置き換えた式を用意します。$$e^{2sx-s^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_m(x) \frac{s^m}{m!}  \cdots(B)$$
\((A)\) と \((B)\) の式を掛け合わせます。$$\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}\right\}\left\{\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} H_m(x) \frac{s^m}{m!}\right\}=e^{2tx-x^2} \cdot e^{2sx-s^2}$$両辺に \(e^{-x^2}\) を掛けて区間 \([-\infty,\infty]\) において \(x\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}\right\}\left\{\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} H_m(x) \frac{s^m}{m!}\right\}e^{-x^2}dx&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{2(t+s)x-t^2-s^2} \cdot e^{-x^2}dx\\
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!} \cdot \frac{s^m}{m!}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2+2(t+s)x-t^2-s^2}dx\\
\end{alignat}右辺の積分を計算します。

指数部分について
\begin{alignat}{2}
-x^2+2(t+s)x-t^2-s^2&=-\{x^2-2(t+s)x\}-t^2-s^2\\
&=-\{x^2-2(t+s)x+(t+s)^2\}+(t+s)^2-t^2-s^2\\
&=-(x-t-s)^2+2ts\\
\end{alignat}となるので
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2+2(t+s)x-t^2-s^2}dx&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x-t-s)^2+2ts}dx\\
&=e^{2ts} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x-t-s)^2}dx\\
\end{alignat}\(x-t-s=y\) と置きます。\((dx=dy)\)
\begin{alignat}{2}
&=e^{2ts}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy=e^{2ts}\sqrt{π}\\
&=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2ts)^k}{k!}=\sqrt{π}\left\{1+2ts+\frac{(2ts)^2}{2!}+\frac{(2ts)^3}{3!}+\frac{(2ts)^4}{4!}+ \cdots\right\}\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!} \cdot \frac{s^m}{m!}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=\sqrt{π}\left\{1+2ts+\frac{(2ts)^2}{2!}+\frac{(2ts)^3}{3!}+\frac{(2ts)^4}{4!}+ \cdots\right\}$$この式の両辺を \(t\) と \(s\) の次数について比較します。

\((α)\) \(n≠m\) のとき

右辺には \(t\) と \(s\) の次数が揃っている項しか存在しないので、

左辺において \(n≠m\) で、どのようにシグマを効かせても右辺は \(0\) となります。よって$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=0  (n≠m)$$


\((β)\) \(n=m\) のとき [\((α)\) を踏まえて] 両辺を改めて書き直せば
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ts)^n}{n!n!} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \{H_n(x)\}^2e^{-x^2}dx&=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2ts)^n}{n!}\\
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{1}{n!}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \{H_n(x)\}^2e^{-x^2}dx \right] \frac{(ts)^n}{n!}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (\sqrt{π}\cdot 2^n) \frac{(ts)^n}{n!}\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \{H_n(x)\}^2e^{-x^2}dx=\sqrt{π}\cdot 2^nn!$$

クロネッカーのデルタを用いて \((α)\) と \((β)\) をまとめて書きます。以上より$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} H_n(x)H_m(x)e^{-x^2}dx=\sqrt{π} \cdot 2^nn! δ_{mn}$$









\((2)\) 関数 \(f(x)\) がエルミート多項式を用いて、次のように級数展開できたとします。$$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} C_kH_k(x)  \cdots (C)$$このとき \(C_k\) を定めます。

両辺に \(H_n(x)e^{-x^2}\) を掛けて、区間 \([-\infty,\infty]\) において \(x\) で積分します。$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)H_n(x)e^{-x^2}dx=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} C_k\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} H_k(x)H_n(x)e^{-x^2}dx$$
右辺について \((1)\) より、\(k≠n\) のとき全て \(0\) であり、\(k=n\) の項のみ残ります。
\begin{alignat}{2}
&=C_0\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} H_0(x)H_n(x)e^{-x^2}dx+C_1\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} H_1(x)H_n(x)e^{-x^2}dx+ \cdots \\
&       \cdots +C_n\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \{H_n(x)\}^2e^{-x^2}dx+C_{n+1}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} H_{n+1}(x)H_n(x)e^{-x^2}dx+ \cdots \\
&=C_n\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \{H_n(x)\}^2e^{-x^2}dx=C_n \cdot \sqrt{π}\cdot 2^nn!
\end{alignat}よって$$C_n=\frac{1}{\sqrt{π}\cdot 2^n n!} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) H_n(x)e^{-x^2}dx$$
\(n\) を \(k\) として \((C)\) の式に代入します。$$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \left\{\frac{1}{\sqrt{π}\cdot 2^k k!} \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) H_k(x)e^{-x^2}dx\right\}H_k(x)$$
以上より$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{π}}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{H_k(x)}{2^kk!}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)H_k(x)e^{-x^2}dx$$

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