エルミート多項式[1]

エルミートの多項式は次式で表されます。
$$H_n(x)=n!\displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^k}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}$$

このとき、次の式が成り立ちます。

\((1)\) エルミート多項式の母関数$$e^{2tx-t^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}$$

\((2)\) エルミート多項式のロドリグの公式$$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$$















<証明>

次の「二重シグマの交換式」を用います。$$(A)  \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \displaystyle\sum_{m=0}^k a_{m,k}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\sum_{m=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}a_{m,n-m}  (n=k+m)$$



\((1)\) \(e^{2tx-t^2}\) を級数で表します。$$e^{2tx-t^2}=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2tx-t^2)^k}{k!}$$\((2tx-t^2)^k\) に二項定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \displaystyle\sum_{m=0}^k {}_k\mathrm{C}_m (-t^2)^m (2tx)^{k-m}\\
&= \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \displaystyle\sum_{m=0}^k (-1)^m \cdot \frac{k!}{m!(k-m)!} t^{k+m}(2x)^{k-m}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{m=0}^k \frac{(-1)^m}{m!(k-m)!} (2x)^{k-m}t^{k+m}\\
\end{alignat}\((A)\) の式を用いて、シグマの順序を交換します。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\sum_{m=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^m}{m!(n-2m)!} (2x)^{n-2m}t^{n}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left\{n!\displaystyle\sum_{m=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^m}{m!(n-2m)!}(2x)^{n-2m}\right\}\frac{t^n}{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}\\
\end{alignat}以上より$$e^{2tx-t^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}$$










\((2)\) \(e^{-(x-t)^2}\) を級数で表します。$$e^{-(x-t)^2}=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{\{-(x-t)^2\}^m}{m!}=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!}\cdot (x-t)^{2m}$$\((x-t)^{2m}\) に二項定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m!} \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{2m} {}_{2m}\mathrm{C}_n x^{2m-n} (-t)^n\right\}\\
&=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{2m} \frac{(-1)^{m+n}t^n}{m!} \cdot \frac{(2m)!}{n!(2m-n)!}x^{2m-n}\\
&=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{2m} \frac{(-1)^{m+n}t^n}{m!} \cdot \frac{(2m)(2m-1) \cdots (2m-n+1)}{n!}x^{2m-n}\\
&=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m+n}t^n}{m!} \cdot \frac{(2m)(2m-1) \cdots (2m-n+1)}{n!}x^{2m-n}\\
\end{alignat}\(x^{2m}\) を \(n\) 回微分したとき$$\frac{d^n}{dx^n}x^{2m}=(2m)(2m-1) \cdots (2m-n+1)x^{2m-n}$$となるので$$=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m+n}t^n}{m!n!} \left(\frac{d^n}{dx^n}x^{2m}\right)$$シグマの順序を入れ替え、右の級数を指数関数で表します。
\begin{alignat}{2}
e^{-(x-t)^2}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nt^n}{n!} \left\{\frac{d^n}{dx^n} \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^m}{m!}\right\}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nt^n}{n!} \left(\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\right)\\
e^{-x^2} \cdot e^{2tx-t^2}&=e^{-x^2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left\{(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}\right\}\frac{t^n}{n!}\\
e^{2tx-t^2}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left\{(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}\right\}\frac{t^n}{n!}
\end{alignat}\((1)\) の母関数の式と比較します。$$e^{2tx-t^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}$$以上より$$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2} \frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$$

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