エルミート多項式[2]

エルミート多項式について、次式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  H_n’(x)=2nH_{n-1}(x)\\
&(2)  H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)\\
&(3)  H_{n}’’(x)-2xH_{n}’(x)+2nH_{n}(x)=0  (\mathrm{Hermite}\,\,\mathrm{DE})\\
&(4)  H_{n}(x)=2xH_{n-1}(x)-H_{n-1}’(x)\\
&(5)  nH_{n}(x)=-nH_{n-1}’(x)+xH_{n}’(x)\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)












<証明>

次のエルミート多項式の母関数の式を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  e^{2tx-t^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}$$



\((1)\) \((A)\) の式の両辺を \(x\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dx}e^{2tx-t^2}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{d}{dx}H_n(x) \frac{t^n}{n!}\\
2te^{2tx-t^2}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n’(x) \frac{t^n}{n!}\\
\end{alignat}左辺に \((A)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
2t\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n’(x) \frac{t^n}{n!}\\
2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)H_n(x) \frac{t^{n+1}}{(n+1)!}&=H_0’(x)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} H_n’(x) \frac{t^n}{n!}   (H_0’(x)=0)\\
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 2nH_{n-1}(x) \frac{t^n}{n!}&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} H_n’(x) \frac{t^n}{n!}\\
\end{alignat}両辺を比較します、以上より$$H_n’(x)=2nH_{n-1}(x)$$







\((2)\) \((A)\) の式の両辺を \(t\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dt}e^{2tx-t^2}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{1}{n!}\left(\frac{d}{dt}t^n\right)\\
2(x-t)e^{2tx-t^2}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{1}{n!} \cdot nt^{n-1}\\
\end{alignat}左辺に \((A)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
2(x-t)\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} H_n(x) \frac{1}{n!} \cdot nt^{n-1}\\
2x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}-2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^{n+1}}{n!}&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} H_n(x) \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \\
2x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}-2\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)H_n(x) \frac{t^{n+1}}{(n+1)!}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{n+1}(x) \frac{t^n}{n!} \\
2x\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} nH_{n-1}(x) \frac{t^{n}}{n!}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{n+1}(x) \frac{t^n}{n!} \\
2xH_0(x)+2x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} nH_{n-1}(x) \frac{t^{n}}{n!}&=H_1(x)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} H_{n+1}(x) \frac{t^n}{n!} \\
2xH_0(x)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \{2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)\}\frac{t^n}{n!}&=H_1(x)+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} H_{n+1}(x) \frac{t^n}{n!} \\
\end{alignat}両辺を比較することで、次式を得ます。
\begin{cases}
2xH_0(x)=H_1(x)\\
H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)\\
\end{cases}\(H_0(x)=1,\,H_1(x)=2x\) であるので、上の式は成立しています。

一方、下の式が欲しかった漸化式です。以上より$$H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x)$$







\((3)\) \((1)\) の式の両辺を \(x\) で微分します。$$H_n’’(x)=2nH_{n-1}’(x)  \cdots (C)$$\((1)\) の式の \(n\) を \(n+1\) とします。$$H_{n+1}’(x)=2(n+1)H_{n}(x)  \cdots (D)$$\((2)\) の式の両辺を \(x\) で微分します。$$H_{n+1}’(x)=2H_n(x)+2xH_n’(x)-2nH_{n-1}’(x)  \cdots (E)$$

\((E)\) の式に \((C)(D)\) を代入します。$$2(n+1)H_n(x)=2H_n(x)+2xH_n’(x)-H_n’’(x)$$
式を整理すれば、次の「エルミートの微分方程式」を得ます。以上より$$H_{n}’’(x)-2xH_{n}’(x)+2nH_{n}(x)=0$$.







\((4)\) \((2)\) の式を移項します。$$2nH_{n-1}(x)=2xH_n(x)-H_{n+1}(x)$$\((1)\) の式に代入します。$$H_n’(x)=2nH_{n-1}(x),  H_n’(x)=2xH_n(x)-H_{n+1}(x)$$\(n+1\) を \(n\) として、移項します。以上より$$H_{n}(x)=2xH_{n-1}(x)-H_{n-1}’(x)$$









\((5)\) \((3)\) の式に \((C)\) の式を代入します。$$2nH_{n-1}’(x)-2xH_n’(x)+2nH_n(x)=0$$両辺を \(2\) で割ります。$$nH_{n-1}’(x)-xH_n’(x)+nH_n(x)=0$$移項します。以上より$$nH_{n}(x)=-nH_{n-1}’(x)+xH_{n}’(x)$$

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