エルミート多項式[3]

エルミート多項式について、次の式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  H_0(x)=1\\
&(2)  H_1(x)=2x\\
&(3)  H_2(x)=4x^2-2\\
&(4)  H_3(x)=8x^3-12x\\
&(5)  H_4(x)=16x^4-48x^2+12\\
&(6)  H_5(x)=32x^5-160x^3+120x\\
&(7)  H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\\
&(8)  H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x\\
&(9)  H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4+6720x^2+1680\\
&(10)  H_{2n-1}(x)=0\\
&(11)  H_{2n}(0)=(-1)^n2^n(2n-1)!!
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)












<証明>

次のエルミート多項式における等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\\
&(B)  H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}\\
\end{alignat}





\((1)(2)\) は \(A\) の式で計算します。

残りは \((B)\) の漸化式を用います。


\begin{alignat}{2}
(1)  H_0(x)&=(-1)^0e^{x^2} \frac{d^0}{dx^0}e^{-x^2}=e^{x^2} \cdot e^{-x^2}=1\\
&\\
(2)  H_1(x)&=(-1)^1e^{x^2} \frac{d^1}{dx^1}e^{-x^2}=-e^{x^2} \cdot (-2x)e^{-x^2}=2x\\
&\\
&\\
(3)  H_2(x)&=2xH_1(x)-2H_0(x)\\
&=2x \cdot 2x-2 \cdot 1=4x^2-2\\
&\\
&\\
(4)  H_3(x)&=2xH_2(x)-4H_1(x)\\
&=2x(4x^2-2)-4 \cdot 2x\\
&=8x^3-4x-8x=8x^3-12x\\
&\\
&\\
(5)  H_4(x)&=2xH_3(x)-6H_2(x)\\
&=2x(8x^3-12x)-6(4x^2-2)\\
&=16x^4-24x^2-24x^2+12\\
&=16x^4-48x^2+12\\
&\\
&\\
(6)  H_5(x)&=2xH_4(x)-8H_3(x)\\
&=2x(16x^4-48x^2+12)-8(8x^3-12x)\\
&=32x^5-96x^3+24x-64x^3+96x\\
&=32x^5-160x^3+120x\\
&\\
&\\
(7)  H_6(x)&=2xH_5(x)-10H_4(x)\\
&=2x(32x^5-160x^3+120x)-10(16x^4-48x^2+12)\\
&=64x^6-320x^4+240x^2-160x^4+480x^2-120\\
&=64x^6-480x^4+720x^2-120\\
&\\
&\\
(7)  H_7(x)&=2xH_6(x)-12H_5(x)\\
&=2x(64x^6-480x^4+720x^2-120)-12(32x^5-160x^3+120x)\\
&=128x^7-960x^5+1440x^3-240x-384x^5+1920x^3-1440x\\
&=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x\\
&\\
&\\
(8)  H_8(x)&=2xH_7(x)-14H_6(x)\\
&=2x(128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x)-14(64x^6-480x^4+720x^2-120)\\
&=256x^8-2688x^6+6720x^4-3360x^2-896x^6+6720x^4+10080x^2+1680\\
&=256x^8-3584x^6+13440x^4+6720x^2+1680\\
\end{alignat}




\((9)(10)\)  \((B)\) の式で \(x=0\) とします。$$H_{n+1}(0)=-2xH_{n-1}(0)$$この式に \(n=0,2,4,\cdots\) を代入します。

\(H_1(0)=0\) より \(H_3(0)=-4H_1(0)=0\) 同様に$$H_5(0)=-8H_3(0)=0,  H_7(0)=-12H_5(0)=0  \cdots$$となるので$$H_1(0)=H_3(0)=H_5(0)= \cdots =H_{2n-3}(0)=H_{2n-1}(0)=0$$以上より$$H_{2n-1}(0)=0$$



\(n=1,3,5,\cdots \) を代入します。

\begin{alignat}{2}
&H_2(0)=-2=(-1) \cdot 2 \cdots 1\\
&\\
&H_4(0)=-6H_2(0)=-6 \cdot (-1) \cdot 2 \cdots 1=(-1)^2 \cdot 2^2 \cdot 3!!\\
&\\
&H_6(0)=-10H_4(0)=-10 \cdot (-1) \cdot 2^2 \cdots 3!!=(-1)^3 \cdot 2^3 \cdot 5!!\\
&\\
&H_8(0)=-14H_6(0)=-14 \cdot (-1) \cdot 2^4 \cdots 5!!=(-1)^4 \cdot 2^4 \cdot 7!!\\
&\\
&H_{10}(0)=-18H_4(0)=-18 \cdot (-1) \cdot 2^4 \cdots 7!!=(-1)^5 \cdot 2^5 \cdot 9!!\\
&\\
&                \cdots \\
&\\
\end{alignat}と続いていくので、以上より$$H_{2n}(0)=(-1)^n2^n(2n-1)!!$$

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