エルミート多項式[6]

エルミート多項式について、次式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  e \cos 2x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n}(x) \frac{(-1)^n}{(2n)!}\\
&(2)  e \sin 2x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n+1}(x) \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\\
&(3)  \frac{1}{e} \cosh 2x= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{2n}(x)}{(2n)!}\\
&(4)  \frac{1}{e} \sinh 2x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{2n+1}(x)}{(2n+1)!}\\
\end{alignat}













<証明>

次のエルミート多項式の母関数を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  e^{2tx-t^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}$$





\((1)\) \((A)\) の式の右辺のシグマを偶奇で分けます。$$e^{2tx-t^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n}(x) \frac{t^{2n}}{(2n)!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n+1}(x) \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}  \cdots (B)$$\((B)\) の式で \(t\) を \(it\) とします。
\begin{alignat}{2}
e^{2itx+t^2}&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n}(x) \frac{(it)^{2n}}{(2n)!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n+1}(x) \frac{(it)^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n}(x) \frac{(-1)^nt^{2n}}{(2n)!}+i\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n+1}(x) \frac{(-1)^nt^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
\end{alignat}さらに \(t=1\) のとき$$e^{2ix+1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n}(x) \frac{(-1)^n}{(2n)!}+i\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n+1}(x) \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$$左辺にオイラーの公式を用いて、両辺の実部と虚部を比較します。$$e(\cos 2x+i \sin 2x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n}(x) \frac{(-1)^n}{(2n)!}+i\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n+1}(x) \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}$$以上より
\begin{cases}
e \cos 2x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n}(x) \frac{(-1)^n}{(2n)!}\\
e \sin 2x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} H_{2n+1}(x) \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\\
\end{cases}









\((2)\) \((B)\) の式で \(t=1\) とします。$$e^{2x-1}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{2n}(x)}{(2n)!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{2n+1}(x)}{(2n+1)!}$$左辺について$$e^{2x-1}=\frac{1}{e}(\cosh 2x+\sinh 2x)$$であり、\(\cosh 2x\) と \(\sinh 2x\) の級数展開は
\begin{cases}
\cosh 2x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!}\\
\sinh 2x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}\\
\end{cases}となるので \(\cosh 2x\) では \(x\) の偶数乗、\(\sinh 2x\) では \(x\) の奇数乗の項が並びます。


一方、右辺について、エルミート多項式 \(H_{2n}(x),\,H_{2n+1}(x)\) はそれぞれ
\begin{cases}
H_{2n}(x)=(2n)!\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!(2n-2k)!}(2x)^{2n-2k}\\
H_{2n+1}(x)=(2n+1)!\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!(2n-2k+1)!}(2x)^{2n-2k+1}\\
\end{cases}であるので、右辺はそれぞれ
\begin{cases}
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{2n}(x)}{(2n)!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!(2n-2k)!}(2x)^{2n-2k}\\
\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{2n+1}(x)}{(2n+1)!}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!(2n-2k+1)!}(2x)^{2n-2k+1}\\
\end{cases}となり、上の式では \(x\) の偶数乗、下の式では \(x\) の奇数乗の項が並びます。

よって、次の式について$$\frac{1}{e}(\cosh 2x+\sinh 2x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{2n}(x)}{(2n)!}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{2n+1}(x)}{(2n+1)!}$$\(x\) の次数について比較すると、それぞれ左側の項と右側の項が等しいので

以上より
\begin{cases}
\displaystyle \frac{1}{e} \cosh 2x= \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{2n}(x)}{(2n)!}\\
\displaystyle \frac{1}{e} \sinh 2x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_{2n+1}(x)}{(2n+1)!}
\end{cases}

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