e^{sin^{-1}x}などの級数展開

\begin{alignat}{2}
&(1)  e^{\sin^{-1} x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{2x^3}{3!}+\frac{5x^4}{4!}+ \cdots \\
&(2)  e^{\tan^{-1} x}=1+x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}-\frac{7x^4}{4!}+ \cdots \\
\end{alignat}







<証明>

\((1)\) \(\displaystyle e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) を用いて級数展開、
さらに \( \displaystyle \sin^{-1} x=x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+ \cdots \) を用いて級数展開して

\(x\) の次数ごとに係数を計算します。

\begin{alignat}{2}
&e^{\sin^{-1} x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\sin^{-1} x)^n}{n!}=1+\sin^{-1}x +\frac{(\sin^{-1} x)^2}{2!}+\frac{(\sin^{-1} x)^3}{3!}+\frac{(\sin^{-1} x)^4}{4!}+\cdots \\
&     =1+\left(x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+ \cdots\right)+\frac{1}{2!}\left(x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+ \cdots\right)^2\\
&           +\frac{1}{3!}\left(x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+ \cdots\right)^3+\frac{1}{4!}\left(x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^5+ \cdots\right)^4+ \cdots\\
\end{alignat}\(x^2\) までは明らかに$$e^{\sin^{-1} x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+ \cdots$$\((A)\) \(x^3\) の係数$$\frac{1}{6}+\frac{1}{3!}=\frac{2}{3!}$$\((B)\) \(x^4\) の係数$$\frac{1}{2!} \cdot \frac{1}{6} \cdot 2+\frac{1}{4!}=\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{5}{4!}$$以上より$$e^{\sin^{-1} x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{2x^3}{3!}+\frac{5x^4}{4!}+ \cdots$$








\((2)\) \((1)\) と同様に示します。

\( \displaystyle \tan^{-1} x=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5- \cdots \) を用います。
\begin{alignat}{2}
&e^{\tan^{-1} x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\tan^{-1} x)^n}{n!}=1+\tan^{-1}x +\frac{(\tan^{-1} x)^2}{2!}+\frac{(\tan^{-1} x)^3}{3!}+\frac{(\tan^{-1} x)^4}{4!}+\cdots \\
&     =1+\left(x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5- \cdots\right)+\frac{1}{2!}\left(x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5- \cdots\right)^2\\
&           +\frac{1}{3!}\left(x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5- \cdots\right)^3+\frac{1}{4!}\left(x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5- \cdots\right)^4+ \cdots\\
\end{alignat}\(x^2\) までは明らかに$$e^{\tan^{-1} x}=1+x+\frac{x^2}{2!}+ \cdots$$\((A)\) \(x^3\) の係数$$-\frac{1}{3}+\frac{1}{3!}=\frac{-2+1}{6}=-\frac{1}{3!}$$\((B)\) \(x^4\) の係数$$\frac{1}{2!} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot 2+\frac{1}{4!}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{24}=-\frac{7}{4!}$$以上より$$e^{\tan^{-1} x}=1+x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}-\frac{7x^4}{4!}+ \cdots$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です