exp(-ae^{-x}-μx)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \exp (-e^x)e^{μx}dx=Γ(μ)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \exp (-ae^{nx})dx=-\frac{1}{n}\mathrm{Ei}(-a)  (n \geq 1, a \gt 0)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \exp (-ae^{-x}-μx)dx=a^{-μ}γ(μ,a)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \exp (-ae^x-μx)dx=a^μΓ(-μ,a)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,μ \gt 0\)










<証明>

\((1)\) \(e^x=t\) と置きます。\((tdx=dt)\)$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \exp (-e^x)e^{μx}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-t} \cdot t^μ \cdot \frac{1}{t}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} t^{μ-1} e^{-t}dt=Γ(μ)$$







\((2)\) \(e^{nx}=t\) と置きます。\((ntdx=dt)\)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \exp (-ae^{nx})dx=\displaystyle\int_1^{\infty} e^{-at} \cdot \frac{1}{nt}dt=\frac{1}{n}\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-at}}{t}dt$$\(-at=s\) と置きます。\((-adt=ds)\)$$=\frac{1}{n}\displaystyle\int_{-a}^{\infty} e^s \left(-\frac{a}{s}\right)\left(-\frac{1}{a}\right)ds=-\frac{1}{n}\displaystyle\int_{-\infty}^{-a} \frac{e^s}{s}ds=-\frac{1}{n}\mathrm{Ei}(-a)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \exp (-ae^{nx})dx=-\frac{1}{n}\mathrm{Ei}(-a)$$








\((3)\) \(e^{-x}=t\) と置きます。\((-tdx=dt)\)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \exp (-ae^{-x}-μx)dx=\displaystyle\int_1^0 e^{-at} \cdot t^μ \left(-\frac{1}{t}\right)dt=\displaystyle\int_0^1 t^{μ-1}e^{-at}dt$$\(at=s\) と置きます。\((adt=ds)\)$$=\displaystyle\int_0^1 \left(\frac{s}{a}\right)^{μ-1}e^{-s} \cdot \frac{1}{a}ds=\frac{1}{a^μ}\displaystyle\int_0^a s^{μ-1}e^{-s}ds=a^{-μ}γ(μ,a)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \exp (-ae^{-x}-μx)dx=a^{-μ}γ(μ,a)$$







\((4)\) \(e^x=t\) と置きます。\((tdx=dt)\)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \exp (-ae^x-μx)dx=\displaystyle\int_1^{\infty} e^{-at} \cdot t^{-μ} \cdot \frac{1}{t}dt=\displaystyle\int_1^{\infty} t^{-μ-1}e^{-at}dt$$\(at=s\) と置きます。\((adt=ds)\)$$=\displaystyle\int_a^{\infty} \left(\frac{s}{a}\right)^{-μ-1}e^{-s} \cdot \frac{1}{a}ds=a^μ\displaystyle\int_a^{\infty} s^{-μ-1}e^{-s}ds=a^μΓ(-μ,a)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \exp (-ae^x-μx)dx=a^μΓ(-μ,a)$$

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