{exp(-x^p)-exp(-x^q)}/x[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\exp(-ux^p)-\exp(-vx^p)}{x}dx=\frac{1}{p}\log \frac{v}{u}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\exp(-x^p)-\exp (-x^q)}{x}dx=\frac{p-q}{pq}γ
\end{alignat}ただし、全て \(u,v,p,q \gt 0\)







<証明>

\((1)\) 次の定積分における等式を用います。
\begin{alignat}{2}
&  \exp(-ux^p)-\exp(-vx^p)\\
&=[\exp(-tx^p)]_v^u=\displaystyle\int_v^u \{\exp (-tx^p)\}’dt=\displaystyle\int_v^u (-x^p)\exp (-tx^p)dt\\
\end{alignat}被積分関数に代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\exp(-ux^p)-\exp(-vx^p)}{x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x} \left\{\displaystyle\int_v^u (-x^p)\exp (-tx^p)dt\right\}dx=-\displaystyle\int_v^u \displaystyle\int_0^{\infty} x^{p-1}\exp (-tx^p)dxdt\\
&=-\frac{1}{p}\displaystyle\int_v^u \frac{1}{t}\displaystyle\int_0^{\infty} \{\exp (-tx^p)\}’dxdt=-\frac{1}{p}\displaystyle\int_v^u \frac{1}{t} [\exp(-tx^p)]_0^{\infty} dt\\
&=-\frac{1}{p}\displaystyle\int_v^u \frac{1}{t}dt=-\frac{1}{p}[\log t]_v^u=\frac{1}{p}\log \frac{v}{u}
\end{alignat}








\((2)\) 次の定積分における等式を用います。
\begin{alignat}{2}
&\exp(-x^p)-\exp (-x^q)=[\exp (-x^t)]_q^p=\displaystyle\int_q^p \{\exp (-x^t)\}’dt\\
&                  =\displaystyle\int_q^p \{-(\log x) x^t\} \exp (-x^t)dt\\
\end{alignat}被積分関数に代入します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\exp(-x^p)-\exp (-x^q)}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x}\left[\displaystyle\int_q^p \{-(\log x) x^t\} \exp (-x^t)dt\right]dx\\
&                         =-\displaystyle\int_q^p \displaystyle\int_0^{\infty} (\log x)x^{t-1} \exp (-x^t)dxdt
\end{alignat}\(x^t=s\) と置きます。\((tx^{t-1}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&=-\displaystyle\int_q^p \frac{1}{t} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log s}{t} \cdot e^{-s} dsdt\\
&=-\displaystyle\int_q^p \frac{1}{t^2} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-s} \log s dsdt\\
&=γ\displaystyle\int_q^p \frac{1}{t^2}dt=γ\left[-\frac{1}{t}\right]_q^p=γ\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)=\frac{p-q}{pq}γ
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\exp(-x^p)-\exp (-x^q)}{x}dx=\frac{p-q}{pq}γ$$

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