exp^{e^x}などの級数展開

\begin{alignat}{2}
&(1)  a^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x \log a)^n}{n!}\\
&(2)  e^x(1+x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)x^n}{n!}\\
&(3)  e^{e^x}=e\left(1+x+x^2+\frac{5x^3}{3!}+\frac{15x^4}{4!}+ \cdots\right)\\
\end{alignat}







<証明>

\((1)\) \(f(x)=a^x\) とします。\(f(x)\) をマクローリン展開すると、次式となるので$$f(x)=f(0)+\frac{f^{(1)}(0)}{1!}x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+ \cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+ \cdots$$微分して \(x=0\) として上の式に代入します。
\begin{alignat}{2}
&f^{(1)}(x)=(\log a)a^x,  f^{(2)}(x)=(\log a)^2a^x,  \cdots f^{(n)}(x)=(\log a)^na^x\\
&\\
&f^{(1)}(0)=\log a,  f^{(2)}(0)=(\log a)^2,  \cdots f^{(n)}(0)=(\log a)^n\\
\end{alignat}となるので$$a^x=1+(\log a)x+\frac{(\log a)^2}{2!}x^2+\frac{(\log a)^3}{3!}x^3+ \cdots$$以上より$$a^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x \log a)^n}{n!}$$









\((2)\) \(e^x\) を級数で表し、式を整理した後、シグマで表します。
\begin{alignat}{2}
&e^x(1+x)=(1+x)\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+ \cdots\right)\\
&        =\left(1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+ \cdots\right)+\left(x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\frac{x^4}{3!}+\frac{x^5}{4!}+ \cdots\right)\\
&        =1+(1+1)x+\left(1+\frac{1}{2!}\right)x^2+\left(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}\right)x^3+\left(\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}\right)x^4+ \cdots \\
&        =1+\frac{(1+1)x}{1!}+\frac{(2+1)x^2}{2!}+\frac{(3+1)x^3}{3!}+\frac{(4+1)x^4}{4!}+ \cdots =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)x^n}{n!}\\
\end{alignat}以上より$$e^x(1+x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)x^n}{n!}$$







\((3)\) \(e\) を \(1\) つだけ外に出してから級数展開を行います。
\begin{alignat}{2}
&e^{e^x}=e \cdot e^{e^x-1}=e \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(e^x-1)^n}{n!}\\
&   =e\left\{1+(e^x-1)+\frac{(e^x-1)^2}{2!}+\frac{(e^x-1)^3}{3!}+\frac{(e^x-1)^4}{4!}+ \cdots \right\}\\
\end{alignat} 先頭の \(e\) 以外の部分について、さらに級数展開を行います。
\begin{alignat}{2}
&1+\left(x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+ \cdots\right)+\frac{1}{2!}\left(x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+ \cdots\right)^2\\
&   +\frac{1}{3!}\left(x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+ \cdots\right)^3+\frac{1}{4!}\left(x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+ \cdots\right)^4+ \cdots \\
\end{alignat}\(x^2\) の係数までは明らかに$$e^{e^x}=e(1+x+x^2+ \cdots)$$
\((A)\) \(x^3\) の係数$$\frac{1}{3!}+\frac{1}{2!} \cdot \frac{1}{2!} \cdot 2+\frac{1}{3!}=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{1+3+1}{6}=\frac{5}{3!}$$\((B)\) \(x^4\) の係数
\begin{alignat}{2}
&  \frac{1}{4!}+\frac{1}{2!}\left\{\frac{1}{3!} \cdot 2 +\left(\frac{1}{2!}\right)^2\right\}+\frac{1}{3!}\cdot \frac{1}{2!} \cdot 3+\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}+\frac{1}{24}\\
&=\frac{1}{24}+\frac{7}{24}+\frac{1}{4}+\frac{1}{24}=\frac{1+7+6+1}{24}=\frac{15}{4!}\\
\end{alignat}
以上より$$e^{e^x}=e\left(1+x+x^2+\frac{5x^3}{3!}+\frac{15x^4}{4!}+ \cdots\right)$$



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